I. — Existence des solutions des systèmes différentiels

!2(S(). On sait quon appelle équation différentielle une <''<|Ucilion entre une Nariable, une fonction inconnue de cette variable et les dérivées de cette fonction jusqu'à un certain ordre. Dans l'étude des équations diirérentielles, il y a lieu de se placer à deux points de vue ditîerents. suivant que les variables que l'on considère sont réelles ou complexes. Mais il est important de renuircpier que les fonctions de variables réelles quon a le plus souvent occasion de rencontrer, étant représentables par des séries entières, rentrent dans la catégorie des fonctions analyticpies. On conçoit donc que, nièiiie s'il s'agit de variables réelles, il peut y avoir avantage à se placer au point de vue des \ariables complexes.

Si Ion a plusieurs équations entre plusieurs fonctions inconnues y, :;, . . . dune variable x et des dérivées de divers ordres de ces fonctions, on dit que Ton a un système d'équations différentielles ou un système différentiel. On peut toujours remplacer un tel système par un autre système où n'entrent que les dérivées premières des fonctions inconnues. En effet, s\ y par exem|)le entre par ses dérivées y', y', ..., y^'^\ on introduit les fonctions auxiliaires suivantes :

dy clv\ dvn^i

y' = 7rx' ^'' = ih' ■■■' •^''-'=-^51-'

et l'on a

d-y dyi d"-^y dy„-2 d"y drn-\

dx- dx dx" - ' dx dx" dx

11 suffit de remplacer -7^> • • • j -7-^ par ces valeurs dans les équa- ' dx- dx"^ ^ '

86 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFÉUKNTIKLLES.

lions proposées pour avoir un nouveau système renfermant n — i équations eX. n — I inconnues en plus, mais clans lequel les seules dérivées des fonctions y, ^,, .... j'„, qui inter\iennent sont les dérivées premières.

î287. Cela posé, considérons un système de n équations différentielles de la forme suivante :

-j^ =fx{^.y\,y2, ■■■, yn),

-^ =fu{T,yi,y^, ...,yn).

Nous allons démontrer que, si les fonctions J ,, fo, . . .. /„ des variables complexes x, y,^ . . ., y,i sont l'égulières au point x = a, J'i = ^n • • -5 .Yti = ^«; il existe pour yi, y-2, • • •> Xu ftn système de fonctions holomorphes de x dans un certain cercle de centre a, satisfaisant aux équations{\) et prenant respectivement les valeurs bf, . . .^ b,i lorsque x prend la valeur a.

Pour sinq^hlier 1 écriture, faisons d'abord un chanoement de variables .r = a -h X, j^, = 6,H-Y,, ... qui ramène le système a, bf, ..., b„ au système o, o, ..., o; il s'agit alors de trouver pour j^i, ..., y,, des fondions holomorphes de x satisfaisant aux équations (i) el s annulant en même temps que x. De telles fonctions, si elles existent, sont représentables par des séries entières de la forme suivante : *

En remplaçant dans les équations (i) y, , Vo, . . ., y/i par ces séries, les deux membres de chaque équation doivent être des séries identiques. Les fonctions y'/ sont régulières au point o, o, ..., o; soit, pour f ^ 1 , 2, . . ., /?,

fi = A, ^ B,x -+- Ciji -+- D,jK2 -^...-T- EiX^ -r- . . . ; on doit avoir (n" Î284, p. 82)

ax

= A,-H BiX -+- C/(a,3~ -i- Pix--T-. . .j-rDiioL-iX -4- ^«a;* ■+-. . . )-h

r. — KXisTKNCE i)i:s soi.i TioNs Di:s svsti:mi;s i)irKi;iir:NTiKi.«. S7

Va\ ('^iiliinl les termes C()msI;iuI> tiaiis les deux meMilti( s. on a la \aleur de a,; en égalant les eoeflieients de .r, on a dans le premier membre |j/. dans le second une qiiantih' (|tii ol ((inmic drs (|iir les v. sont connus; on en déduit ^j,.

D'une manière générale, dans le second meiniMe, le coeHicicui de xP dépend des coefficients des J) et des coefficients 7.. '1>. ", ... relatifs à x^ x-, ..., xP dans les développements des y, en l'égalant au coefficient de xP dans le premier membr(\ qui dé|)cnd de la valeur du coefficient de xP'^* dans >/. on aura ce dernier coefficient; on peut donc avoir de proche en proche tous les coefficients des séries yi- On exprime ce résultat en disant qu'on peut trouver, pour les yi, des séries entières (2) satisfaisant formellement aux équations (1).

S'il y a un système de fonctions holomorphes, solutions de (1), ce système est nécessairement donné par les séries (2), et ces séries constituent elîeeti\cmenl un système de solutions de (1) si elles sont convergentes. Nous sommes donc ramenés à démontrer que les séries (2) sont convergentes dans un certain cercle.

288. Soit M une borne supérieure pour les modules des /"/quand x. y,, ..., y,i restent dans leurs cercles de convergence respectifs, et soit pie rayon minimum de ces cercles. Considérons la fonction

?(^, j'i, ■•-, yn) =

et le système auxiliaire

(4; ^ = tp(a:, jKi, ..., JK„) (i =1, ■}.,..., n).

On sait que la fonction '^ est développahle en série entière par rapport à .r, y,, . . ., y,t et que chacune des fonctions f, développée en série entière, a des termes au plus égaux en module aux termes correspondants du développement de -j ( n" 281, p. 80).

Appliquons la méthode du numéro j)réeédent au système d'équations (4). Les coefficients A,, B,-, . . . qui figurent dans f sont remplacés par des nombres positifs qui leur sont supérieurs ou égaux en module. Si Ton calcule. |)our le système (4)- les coefficients a, on obtient des valeurs positives au moins égales en module aux valeuis obtenues pour le système (^ i). Quant aux coefficients 3, y, ....que l'on calcule successivement, chacun deux est défini comme une certaine

88 CHAl'IÏKE V. — ÉQLATIONS DIKFKRKNTIKLLES.

cuinbuiaison linéaire à coeflicients posilil's j)orraiil dune jjarl sur les quantités A/, B/, . . . qui figurent dans fi^ d'autre part sur les coeflicients a, |j, ... déjà obtenus. Il résulte de là que les coefficients [î> pour le système (4) sont des nombres positifs, supérieurs ou égaux en module aux coefficients |j j»uur le système (i); de même pour les coetlicients y, .... On voit linalement cjue la métliode de détermination des coefficients, appliquée à (4), donne pour j^,, ..., yn des séiies entières (S) à coefficients positifs, au moins égaux aux modules des coefficients coi-respondants des séries (2). Par conséquent, si les séries (S) sont convergentes, les séries (2) le ievonl a fortiori.

Pour montrer que les séries (S) sont convergentes, il suffit de montrer directement tpi il existe jiour (4) des intégrales liolomurphes dans un certain cercle et s annulant a\ec .r. En ellet, s il exisle de telles intégrales, elles sont représentables par des séries entières qui sont identiques aux séries (S) in" 287).

Dans le s-ystèine (^4 '; ^c> " équations ont des seconds membres identiques; les fonctions ), , . .., y^ ont même dérivée et sont toutes égales à o pour j: = o ; elles doivent donc être identiques à une même fonction \ . ^>uus sommes ramenés à intégrer la »eule équation

dx ~ i X , I V \ « '

OU

M^^=(',-lj".^Y,

Supposons I j; i <^ i ; le premier membre est la diflérentielle de — Mp Log (1 — ^ I , en prenant la détermination du Log qui est nulle

avec x\ le second membre étant la ditférentielle de '■ — (1 ) j

l'équation intégrée est

'^- i I - - ) ""^^ - - M . Loi;Y , - - W c,

c étant une constante; en faisant x =^ Y = o, on obtient c = — — - — >

et 1 équation précédente devient

Y\ «-Hl

Quand X tend vers o, le second membre de cette équation tend

11. — Égr.MioNs un ri:iti:NTii;i.i.i:s ix i'iti:Mii:n oudiu;. Hij

vers I. Il résulte de la llicoric îles <!'(niuLioiis hiiioiiio (jn'il v a imo racine { // -|- i)"^'"" du second niend)re (|ui Icnd \("r> i ipiand x tend Ncrs u; désign')ns celle racine par y , nous allions

n-?jj

Celle tonclion est hicn iioioinorpiie dans un certain cercle <le centre O, c esl-à-dire que (4 ) ;» n'i syslcnie d'iiité;;ral<'> lioioinoipiic-s rej)résentables par des séries entières. La convergence des séries relatives au systcine (i) en résulte.

Donc le système (i) adinci une solution dans les condition» indiquées.

289. Remarquons (jue, dans le cas particiiliéreiuent important ou les coefficients des/) aonl /-t^els, l'application de la méthode conduit à des coetlicienls à \aleur réelle; les séries ('2 ) sont des séries entières à coefticienls réels.