II. — Équations différentielles du premier ordre

!290. Une équation dilTérentielle du premier ordre, résolue par rap{)ort à la déri\ ée, est de la forme

dx

Par application du théorème précédent, si la fonction / des deux variables .r, y est régulière en un point (.ro, y^)-, il existe pour j^ unr fonction holomorphe de x dans un certain cercle de centre x^^ satisfaisant à l'équation donnée et prenant, pour x = Xo, la valeur ro- O" reconnaît ainsi que la solution générale obtenue par ce procédé renferme une constante arbitraire, savoir la valeur de la fonction correspondant à une valeur donnée de la variable.

Rajjpeloiis que la solution de l équation ditlérentielle

est

dy dl-

■fi^)

y=j fi^ïdj'-

90 CIIAI'ITUE V. — KOLATIONS DlFlÉUEM IICLLKS.

L'opéi'alion qui consiste à déduire de (2) l'équation (3) est dite une quadrature.

■^Ol. 11 y a souvent avantage à donnera une équation dillerentielle' au lieu de la forme (i), la forme plus symétrique

(4) \dx^\dy = o,

X et \ pouvant être fonctions de.r. y. On ne spécifie pas ainsi quelle est la variable indépendante. On peut choisir comme variable indépendante soit .r, soit j>', ou bien chercher à exprimer x et >' en fonction d'une troisième variable indépendante, ou encore chercher à établir entre Jc, y une relation C5(x, j^) = o, telle que, lorsque x^^y sont liés par cette relation, lécpiation dillerentielle proposée soit vérifiée.

Dans le cas où \ dépend seulement de x et Y de j)', le premiejmembre de l'équation (4) est la dillerentielle exacte de l'expression

^Wdx+ j\dy,

et, comme cette dillerentielle est nulle, c'est que l'on a

fxdx^ f \ dy = c,

c étant une constante arl)itraire. On obtient ainsi une relation entre x^^y dépendant d'une constante arbitraire et qui constitue la solution générale de l'équation différentielle donnée. On dit, dans ce cas, que dans l'équation donnée les variables sont séparées; une telle équation s'intègre par quadratures.

292. Etant donnée une équation dillerentielle X dx -i- Y dy = o,

proposons-nous d'obtenir une fonction u(x,j)^), appelée facteur intégrant, telle que l'expression

\J.{x, y){X dx -h Y dy )

soit la différentielle d'une certaine fonction C2(.r, y).

Si nous supposons le problème résolu, la solution générale de l'équation différentielle sera constituée par la relation

II. — i:nlATIO\S DlKFKRENTIEI.l.F.S T)V PUEMIKH Olililli:. ijl

l'uur (jiie aX<:/xH- |J.\ d)' suit la (lillV-rc nlicllc loUilc d<.: i, il liiiil que l'on ait

()y Ox

c'csl-à-dire

., d[t. 0\ ^, rVu d\

oy' o(^ o.r ox

On a ainsi, pourclélenniner <x. une t'quation aux dénv(''cs pailiellcs.

Sauf dans les cas où Ton aperçoit miiii('diatein(;nt un fadeur intégrant, sa reolicrche conduit en général à un proLlcine plus dilliciie que le problème de l'intégration de 1 équation proposée.

293. Indiquons quelques types d'équations du premier ordre (jue l'on peut intégrer.

E(jii((tions homofiènes. — On appelle équation homogène une équation qui peut être mise sous la forme

dx ■^\x)'

Pour intégrer cette équation, posons

y = ux.

Nous avons d où

dv du

dx du

On voit que l'on arrive à une équation différentielle où les variables sont séparées. On peut intégrer cette équation par quadratures, puis revenir aux variables primitives x ely.

Toute équation de la forme

dans laquelle y est le quotient de deux polynômes homogènes et de

même degré par rapport à x,y, rentre dans ce cas. On voit de plus

que l'on sera ramené à des intégrations de fractions rationnelles.

On peut aussi ramener à ce cas les écjuations de la forme sui\ante :

dy / ar -i- bv -i- c \

dx "" \a'x -+- b' y -t- c'/

9'^ CHAPITRE V. — liQUATIONS DU' !• KRKNTIKLLES.

En eftet, posons

a" = X-a, jK = Y + 3,

dv

a et 3 étant des constantes actuellement indéterminées, i- se tians-

dx c d\

lorme en -jri en même temps que Ion a

ax -\- h y -:- c =aX -^ b\ ^ ai. -1-6^ -i-c, a' X -^ h' y -h c' ^ a' X -f- 6' Y + o' a -t- 6' !î -I- c'.

Déterminons a et ^ de manière ([ue

] est possible de le faire si (lU — ba' ^ o, et l'on a alors d\ ! a\ ^h\ \

équation qui est homogène.

Si ab' — ba! ■= o, en posant

j< = a.r -4- by -\- c,

on a, A et j. étant certaines constantes,

a X -^ b' y -1- c' = À « -t- tji,

de sorte <{ue le second membre de Téquation donnée est une fonction

de u. On a d'ailleurs

du = a dx -r- b dy, d'où

dv 1 du a

dx b dx b

de sorte que l'équation donnée est de la forme

du

é([uation dans laquelle les \ariables sont séparées.

294. Equations linéaires. — On appelle équation différentielle linéaire du premier ordre une équation de la forme

(i) ^ -^P(ii7)7-^Q(a;j = o,

P et (^ étant des fonctions données de x.

On dit que l'équation est linéaire et homogène si Q est nul, c'est-

II. — Eoi'AiioNs Dii'iKiuM ii:i.Li:s 1)1 I'hi;mii;ii niuiui:. <(i

à-diiL- SI I ('([uation est de la lornn-

Intégrons cette équation (2), qu'on appelle encore équation sans second membre. Ou peut séparer les variables eu I éerl\aul

— h i i T ) dx =^ (),

(I où. eu reuiarcpiaul (jue —■> INj:^') sont les dérivées logarilhmifiue»

de j

/et e^' ,

fp ( a 1 d.f

ye^' = const.

La solution générale de l'équation (2 ) est donc

y = ce .'

On voit ([u elle renferme eu facteur une constante arlulraire. Deux solutions différentes de léqualiou (2) sont donc dans un rapjturl constant.

21)0. Considérons maintenant l'équation (1 ). Pour Tintégrer. désignons par « uue solution de 1 équation sans second membre (2); cher cliuns à vérifier (i) par une fonction t de la forme

y = uz,

a satisfaisant, comme il vient d'être dit. à l'écjuation

dx

Fai remplaçant t par // z dans l'équation (i ), on obtient

du dz ,, r^ / ~

Z—--^U-: h V { X) UZ -tn Q{X) = O, ■

a.r dx

ou, eu tenant compte de (3),

dz r\ ' \

dz . ,. , .

équation en y- qui louruit :; par une (piadrature :

dx -I- c.

94 CHAI'lTRh; V. — KQfATIO.NS DlFKKHIi.NTIKFJ.ES.

On peut prendre pour u [x) la fonction <î~'' , et l'on a J '"''^ / q(x) e'^^''' dx -^ ci-

el, par suite,

La solution générale se présente donc sous la forme

y = u{Za-~ c) =y„-h uc,

U étant l'une des solutions de l'équation sans second membre, Zq l'une des intégrales de l'équation en z, Vn l'une des solutions de (i). Par conséquent, la constanle arbitraire entre linéairement dans la solution générale.

296. Equation de Bernoulli. — On appelle équation de Bernoulli une équation de la forme

^ ^P(a7)^ + Q(;r)jK"=o,

P et Q étant des fonctions données de x. Si n=.o, on a l'équation linéaire; si /« = i, on a l'équation linéaire homogène. Supposons n différent de o et de i, et divisons les deux membres de l'équation par j'". 11 vient

dy ^ I' ^

ax y"^ ^«-1 Prenons comme nouvelle fonction inconnue u = ;: k étant un

y ni '

certain facteur numérique, on a

j I dy

da= - ^^ ,

de sorte que l'équation précédente s'écrit

On obtient ainsi pour déterminer u une é([ualion linéaire avec second membre; u étant connu, on en déduit jk-