Equation de Riccati. — On appelle équation de Riccati

II. — KoiATioNs iiirFi:iti:Mii:i.i.i:.s m i'iii;.Mii:u ohdiii;. gj

une équation de la foruie suivante :

-y — t- P ( X )>'*-+- Pi ( .r ) r -f- Wt j- ) =0, a.r

P, P,, P2 étant des fonctions donuées de z.

Ru ijjénéral, on ne sait pas intégrer »^elle équatiou. Mais, si IV)n en connaît une solution paiticnliére )'■, , on peut trouver la solution générale. Posons

L'équation donnée se transforme en

-j-'- -^ ~ -^- \^ ( X ) (y , -+- z)- -i- P i ( x ) ( y i -^ z ) -^ ]\{X) = o, ou, en teuiiut coniple de ce <jue r, est uue solution particulière, -f- ^ ^ [•>. P(j-) xi-i- Pi(^)l -i- -s^P ix) — o.

( )n \oit que r doit satisfaire à une écpiation de BernouUi, que nous savons intégrer. On pose ?/ = - ; u est donné par une équation linéaire.

Soit «0 une solution particulière de cette équation linéaire; w est de la forme a = «0+ cp, v étant une certaine fonction. Un a

«u-T- cv r x-^c3

a, |j, V, 0 étantcertaines fonctions déterminées. La solution généiale de l'équation de Riccali est donc, par rapport à la constante arbitraire, une fraction du premier degré. Soient alors ^, , j'o? JKsjJ'h quatre solutions ditlérentes de 1 é(juation de Fiiccati; elles sont comprises dans la formule générale et correspondent respectivement aux valeurs c,, Co, C3, C4 de la constante c. D'après la propriété connue des fractions du premier degré, pour une valeur donnée de x, le rapport anharmonique de ces quatre fonctions est égal au rapport anharmonique des quatre constantes correspondantes :

Le rapport anliarnionique de (juatre solutions données de l'équation de Riccati reste donc constant quand x varie.

q6 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFÉHENTIKLI.ES.

298. Étant donnée une équation difiércntielle entre x et y^ si Ton peut opérer sur x^ y un cliangeinent de variables qui transforme Téquation en une équation rentrant dans un des types précédents, on en déduit la solution générale de l'équation donnée.

299. Les équations que nous avons étudiées étaient toutes résolues dx

par rapport à -^- - Considérons maintenant une équation mise sous la

forme

On peut chercher à résoudre cette équation par rapport à r' de façon à être ramené au cas précédent. Toutefois, il existe certains cas oii Ion peut se dispenser d'effectuer cette résolution et intégrer directement l'équation non résolue. Donnons-en un exemple.

Équation rie Lagrani^e. — On appelle équation de Lagvanf^e une équation de la forme suivante :

■ù et '!/ étant des fonctions données. On voit qu'une équation de Lagrange est une équation linéaire par rapport à xet y.

Dérivons les deux membres de cette équation, x étant variable indépendante. On obtient

(2) y= 'i{Y')^xo'( y')y"^^'{y')y''.

Dans cette écmati<)n. |)reii(uis y' couiine fonction inconnue et posons j^^/». L équation s écrit

(3) p-'^{p)='^[^'^(.P)^'^'ip)]-

Sous cette forme, c'est une équation dilTérentielle entre p et x^ résolue par rapporta -j- ■ Elle peut se mettre sous la forme d'une équation linéaire par rapport 'd x ei -j- ■> en récrivant

de sorte que, si 1 on considère x comme fonction inconnue de /?, on peut intégrer cette équation. On obtient ainsi x en fonction de/». Si

II. — KyrvTioNS i)Ikki-;ii:;n riKi.i.Ks dv i'iti;\m;u ouohk. ((7

l'on peut de celte relation tii er /' en Innclioii <le ./ . m |>iirl;ml la valeurde p dans l"é(jualion

on aura. |)i)iir I <''(|iiatu»ii donnée, la solution yt'-nérale r en fonction de X.

On peut aussi conserver rex|)rcssion de x en fonction de /> el porter celle valeur dans l'expression (5) de y. On aura ainsiy en fonction de />. En résumé, on voil que Ion exprime ./;el r en fonction

d'un paramètre />, -f- élanl éyal à /^ et les dillérenlielles de x eljvdans

ces conditions élanl liées par la relation d).

La mélliode employée s'ap|)elle la méthode û' intégral ion par dérii'ation.

300. V])j)ll([uons celte mélliode à un exemple. Soil l'écjualion diirérentielle

4jk'^ — ^' y'' ^~ ^{y — -2" ) = <>■

Posons )'' =/> el dérivons celle équation :

dp dp

L'équation obtenue est vérifiée de deux manières : une première solution est /> = i , une seconde solution est celle qui donne lieu à l'équation différenlielle

Pour celle seconde solutictn. on a, en intégrant cette équation,

ip"^— Zx = c; d'où

Portons cette valeur dans 1 équation donnée, il vient

98 niAl'ITRK V. — KQl ATIONS I)IFI'KUKNTIKLI-ES.

Nous avons ainsi une solution de l'ct|ualion donnée, constituée par les deux fonctions de p

c — ■>/>- or — î/?3

l*]n langage géométrique, on obtient une certaine famille de courbes unicursales dépendant d'une constante arbitraire, le paramètre p en fonction duquel varient les coordonnées il" nu |)()iiil de la courbe étant le coefficient angulaire de la tangente à la courbe en ce point.

Considérons maintenant l'autre solution. De /> = i résulte

Pour qu'une fonction de cette forme vérifie l'équation donnée, il

faut que l'on ait

4 — (j -h t) c = 0 ; d'où

La fonction y = x -\ — est une intégrale de l'équation donnée. Nous trouvons ainsi pour cette é(juation deux espèces de solutions différentes : l'une renfermant une constante arbitraire, l'autre entièrement déterminée et ne rentrant pas dans la famille précédente.

301. Un cas particulier de l'équation de l^agrange est l'équation de Clairaut

dx \ dx ,

On obtient ici, en appliquant la méthode précédente,

dp , , , dp

^-p-^'-di'^^^i'^irx' ^[^ + ■}'(/>)] = 0.

Cette équation peut être vérifiée de deux manières différentes,

suivant que l'on prend

dx OU