X -)- ^' ip) = o
La seconde solution donne
H. — KoiATioNS i)iKi'KHK.Nrii;Li,i;s dl i'ui;.\m:n oiunii;. 99
et, en portant cette valeur de :r dans 1 ('(jualiou (Joiinéc,
On a ainsi des fonctions x et y de p qui satisfont a r('(|uati()n iloun(''e et ne renferment pas de constante arbitraire.
En prenant la solution -j- = o, on obtient
p = a, d'où, en remj>laçant dans l'équation donnée,
y = ax -h 'li(a).
On obtient ainsi pour )' une intégrale de l'équation donnée d('!pendant d'une constante arbitraire a. On dira, en langage géomélri([ue, que l'on a une famille de droites satisfaisant à cette équation.
302. Solutions singulières. — P2n résumé, étant donnée une équation difTérenlielle non résolue
on peut dans certains cas l'intégrer directement et il peut y avoir :
I" Une famille de solutions dépendant d'une constante, c'est-à-dire une famille de courbes dépendant d'un paramètre;
2" Des solutions non comprises dans cette famille et ne renfermant pas de constante arbitraire.
Supposons que F soit fonction analytique des trois variables :r, y, y, et que, pour un système déterminé de valeurs Xo, JKo? Jk|, attribuées aux trois variables, considérées actuellement comme indéj)endantes, on ait
dF
D'après la théorie des fonctions implicites, nous pouvons, au voisinage du système de valeurs j:^,): J^o» jKo» résoudre l'équation (1) par rapport à y' , c'est-à-dire trouver pour y' une fonction déterminée de .r, y vérifiant l'équation (1) et prenant la valeur y\^ pour x ^=: x^^ j' =!'(,. On est ainsi ramené au cas d'une équation dilférentielle
résolue par rapport à -j—' Cette é(juation a une intégrale (jui, pour
x = Xo^ se réduit à yQ. En résumé, on trouve pour y une fonction bien déterminée de x vérifiant l'équation [i), prenant pour x^ la
lOO CHAPITRK V. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.
valeur jKo et dont la dérivée prend en même temps la valeur y'^. Supposons maintenant que nous fassions varier ^o, j'o dans un domaine aAoisinant ce point. Les conditions (2) seront encore réalisées ety'„, en tant que solution de la première équation (2), est fonction continue de Xo, jo- On peut donc dire que, Xq étant fixé, on obtient par le procédé indiqué une solution de l'équation (i) renfermant une constante arbitraire, à saAoir j'o- Ainsi se trouve établi le fait suivant : au voisinage d'un système de valeurs Xq, yoi .x'o '^^fijiant (2), toute solution de (1) /entre dans une famille dépendant d'une constante arbitraire.
Examinons maintenant le cas d'un système de valeurs x^^ y^^ y'^ vérifiant l'équation (i) et l'équation (3)
Eliminons ) ' entre (i) et (3), et soit
le lésultat de lélimination. Il peut arriver que cette équation définisse pour T une fonction de x satislaisant à (i). Cette solution, qui est d'une nature difiérente des précédentes, sera dite une solution singulière de léquation (1). Dans l'équation de Lagrange donnée
comme exemple (p. 98), y =z x -\ — '■ est une solution singulière.
Dans l'équation de Clairaut, la solution
a; = — d/'(/?,i, y =' — P'^'ip)-^'\{p)
est aussi une solution singulière.
303. Remarquons qu'en général il n'y a pas, pour une équation diflérentielle donnée, de solution singulière. En efiét, si nous remplaçons l'équation donnée (1) par l'équation
en opérant sur cette équation (5) comme sur léquation (i), nous obtiendrons la même équation (4). Or, une fonction y de x satisfaisant à l'équation (4) donne, pour y\ une fonction bien déterminée qui ne peut évidemment satisfaire à toutes les équations telles que (5). Cela n'aura lieu que par exception et pour des valeurs particulières de a.
II. — ÉQUATIONS niFFi':nn:NTii:i,i-Rs m; prucMUcn ordric. ioi
30i. l'examinons maiiitenanl le cas où rf'MniaLioii (i) est (jhlcnnc
par •'•liininalion (l'un paramèlre c entre des é(}iiations fie la forme
A tout système de valeurs Xo, jKo> JKo satisfaisant à (i) on peut alors adjoindre une valeur Cq du paramétrée, telle que le système Xq^Yq^ r'„, Cq satisfasse aux équations (6). Cette valeur Co, qui est déterminée (|uand .ro, Yq, y'^ le sont, peut être considérée comme une lonclion de X, de sorte qu'il y a, pour y et c, deux fonctions de x telles que, t' étant la dérivée de y, les équations (6) sont vérifiées par ces deux fonctions. Dans ces conditions, en dérivant par rapport à j? la première des équations (6), on olnient
d^ ô'ji , d'-s de dx dy de dx
ou, en tenant compte de la seconde équation (6),
d-o de de d.r
de Cette équation peut être vérifiée de deux manières. Si ion a ^ = o,
on en déduit
c = const.
Les intégrales correspondantes de (i) sont des fonctions >' dépendant d une constante arbitraire ; on retrouve les familles de courbes dont on est parti pour obtenir F. Ce sont les solutions ordinaires de [i).
do L'autre solution de l'équation précédente est -^ = o. Cela montre
que l'équation (i) est vérifiée aussi pour les systèmes de solutions
vérifiant
do o = o, — ' = o.
Oc
En éliminant c entre ces deux ('(luations, on obtient une certaine équation '{'( x, y) = o qui définit y en fonction de x. Cette fonction^ de X est solution de (i).
D'ailleurs, F étant le résultat de l'élimination de c entre les équations ^^6), on peut poser
Pi^,y,y) = ?(-^, 7, C),
102 CHAPITRE V. — EQUATIONS UIFFKRKXTIEI.LES.
à comlilion de considérer c comme la l'onction définie par la seconde équation (6j; doù, en dérivant par rapport àj',
c^F do de dy' de dy'
Donc tout système de valeurs qui annule — ^ annule aussi — ;: par •^ ^ de dy ' ^
suite, la solution y que nous venons d'obtenir et qui correspond à -^ = o est la solution singulière de (i).
On voit, en résumé, que si l'équation (i) est obtenue par élimination de c entre deux équations telles que (6), cette équation a des solutions ordinaires et une solution singulière; les solutions ordinaires s'obtiennent en résolvant (i) par rapport à i' et intégrant l'équation obtenue; elles correspondent à la famille de courbes à un paramètre ayant pour équation o ^= o. La solution singulière correspond à y- = o. En langage géométrique, elle est constituée par ïen-
veloppe de la famille de courbes ayant pour équation ':> = o.
D'ailleurs, il est évident a jiriorL que, si une famille de courbes satisfait à une équation différentielle et a une enveloppe, cette enveloppe satisfait aussi à l'équation différentielle. En efiet, une équation différentielle n'est autre qu'une relation entre les coordonnées d'un point d'une courbe et le coefficient angulaire de la tangente à la courbe en ce point. Or, en tout point commun à 1 enveloppe et à l'enveloppée, les tangentes à ces deux courbes sont confondues.
