III. — Équations différentielles d'ordre n

30o. Une équation différentielle d'ordre «, résolue par rapport à la dérivée d'ordre /i, est de la forme

Pour étudier les conditions d'existence de ses intégrales, ramenons cette équation au système auxiliaire (^n" 286. p. 85) :

/ dy dy^

(2) est un système de n équations différentielles du premier ordre

m. — KQi viKiNs itiKi i:ui;\rii;i.i.i:s d'oiidiik n. io3

qui est i''(|iil\aleul à I t'{|ii;ilion proposée. Soit a, h,,, /y,, .... />„ . , un système de xiilciiis Ici que la foiicllon (le ('//-+- i ) variâmes

/{■^^ X^ ^ "■" f^jr>i-i ) ^^^^ régulière pour le point o. A„. //,, ...,

Le théorème d'existence des intégrales est applicable au système [2 i,

1 •••II dy <l"-^ y

en prenant pour valeurs initiales de x, y, -p- > • • -, • , ^^^ respectivement <7, 60, 1^1, ..., 0„i.

On constate ainsi que Ton peut se donner comme constantes arbitraires les valeurs de la fonction et de ses (/? — i) premières dérivées |)our une valeur donnée de x: la solution de l'équation (i) dépen<l donc de n constantes arbitraires.

Nous allons indif[u('r un ce ri. nu nombre de cas où I on [jeut abaisser 1 ordre de 1 équation ou la ramener à un type connu.