FONCTIONS lir, VAIUAIII.IS COM l'I.lAKS
On ox|>iiin(' ic i<''siill;il m dis, ml (|ii°il \ ii |)<iiir // i/nc (li'inrr pnr rapport à z cl (|m' ii csl holoDiorphc par nippori à z (tu point considéré. On drsij^iic celle (l('ii\ t'c |);ii' //.
On appelle (Ujf'érenticllc de // el l'un désigne pur dd le prodnil de la dérivée lî. par l'accroissement Ac: de lu variable. En considc-raiiL z lui-même comme fonction de c, on est conduit à écrire dz = A«.
On modilie alors la nolalion prf'cédonte et l'on pose
(lu = 11- (Iz
avec
dz — dr -+- i dy.
On déduit de là une nouvelle manière décrire la dc-rivi-e ri.:
, du ~ dz
212. Nous appellerons fonction li(d(innirpln' de :;, dans un domaine D, toute fonclion conlinue par ia[)port à :; et ayant une dérivée déterminée en tout point du domaine D. Les conditions (i) seront appelées conditions cV holomorphic.
On est certain quune fonction /(::) est holomorphe si l'on peut
d une manière quelconque montrer (jue le rapport -. ■
tend vers une limite déterminée quand A tend vers zéro.
Par exemple, :;'", ni étant entier et positif, est fonction holomorphe dans tout le plan, car, d'après la théorie de la division, on a
^^ = mz"'-^~- h -^i z, /i),
cD(:;,/i) étant un polvnome. En vertu des propriétés des polynômes, on vérifie directement que le module de es est borné dans tout domaine borné et Ion en déduit que le premier membre a pour limite, quand h tend vers zéro, l'ex^pression niz'"^'^.
213. Fonctions de plusieurs variables complexes. — Soient plusieurs variables complexes z ^ x -\- iy. ;'= ar'-j- i y' . ... : on dit que le nombre complexe
u — P(a7, y^ x . y, . . .) -h iQ(x, y, x\ y', . . .)
esl fonction holomorplie par rapport à l'ensemble des variables z, z', ... quand ces variables sont respectivement dans des domaines
D, D'. . . . de leurs plans si P et Q sont des fondions continues par rapport à l'ensemble des variables réelles x,y^ x\ y' , ... admettant des dérivées partielles du premier ordre, elles-mêmes continues, et si a admet une dérivée par rapport à chacune des variables complexes
Il faut et il suffit pour cela qu'on ait Tensemblc des conditions
dx
dx'
dq
ôx
dx'
T 1 - • / I ' du du
l.cs dérivées de i/ se représentent par — > -t-t' • • • • ' ' Oz dz
21 i. Fonctions composées. — Soit u = F(^, z' , . . .) une fonction holomorphe des variables complexes z = x -+- iy, z' = x' -\- iy'j . . . quand z, z', ... sont dans certaines régions de leurs plans.
Supposons que s, :;', ..., au beu d'être variables indépendantes, soient fonctions bolomorplies de nou\elles variables coiuplexes
/ = 0 -H iT, ti = hi~i-.i, ...;
Il peut être considérée comme fonction de i, ^,, ... par l'intermédiaire de z, z', .... On dit que c'est une fonction composée de t., <,,.... Je dis que u est fonction holomorphe par rapport à /, <, , ....
En effet, posons u = \*{x, y. . . .) + iÇ)(x, y, . . .).
Lorsqu'on remplace r. z'. ... par leurs valeurs en fonction de t, tf. ..., P et Q deviennent des fonctions composées des variables réelles 0, t, 8(, t,, .... Formons les dérivées de ces fonctions par rapport à f) et t par exemple. On a
dP ^ /dP dx dP dy\ dQ -^ /<^Q ^x dQ dy
'M ~ ^\dx dïï ^ dj df) ) ' 'dh ~ jLà\'dx ôÏÏ ~^ 'dj dîî
oQ dy
dP ^ (dP dx dP dy\ dq ^ (dq dx
dz ~^\dx d- (jy oz/' <)-. ^ ^\dx d-.
dy dx
les signes 7 s'appliquant aux différents couples de variables (x, j'),
Comme u est fonction holomorphe de z^ on a
àP^ dq dP dq
dx dy dy dx
