III. — KQiATio.Ns DiKFKnKNTiici.LEs o'onnnr: n. lo

On peut liiUyrcr celle équation cl en th'diiiie luu; irlalioii ciUic />

et r. En |)orlanl dans

dy

dx ou

dx =

P on aura x par une quadrature.

309. L'équation donnée est homogène par rapport à y et ses dérivées Jusquà U ordre n.

Une telle équation est de la forme

Posons

el prenons z comme nou\eile fonction inconnue. On a

D'une façon générale, on reconnaît (pie )'^^' est égal à e^ multiplié par un polynôme contenant les déri\ées de :; par rapport à ce jusqu'à

■y' y" yrifli

Tordre A" inclusivement, de sorle que les rapports — j -=^> •••> - —

s'expriment par des polynômes en ;', z", . . . , z^"^ et, par cette transformation, léquation prend la forme

c'est une équation d'ordre n ne renfermant la fonction inconnue z que par ses dérivées à partir de l'ordre i . En prenant :;' comme fonction inconnue, l'équation n est |)lus que d'ordre n — i.

310. L'équation donnée est homogène par rap>port aux quantités X, y, dx, dy, d'-y, . . . , d"y.

Ln exemple dune telle équation est l'c-quation

Le premier membre est homogène et de degré o par rapport aux quatre quantités x, y, dx, dy, car il ne change pas quand on multiplie x,y, dx, dy par A.

Io6 CIIAPITHK V. — équations niKFKRENTlKLLES.

D'une manière générale, la condition de l'énoncé étant réalisée, si l'on remplace x^ y par \x^ \y^ le premier membre de l'écjuation sera mnltiplié par une certaine puissance de X, soit )/". Posons

y = "^, et soit

<p(a7, u^ dx, du, . . .) = o

l'équation transformée. Quand on remplace x par Aa^, sans changer u, le premier membre de cette équation doit èlre multiplié par A"'. Transformons l'é(piation es = o en pr(!nant x comme fonction de //, ( liangemenl que nous avons étudié sur d'autres exemples. La nouvelle équation obtenue est telle que, si l'on multiplie la fonction inconnue .r, et par suite toutes ses dérivées, par À, sans changer la variable //, le premier membre de l'équation est multiplié par A'". Ce premier membre est donc une fonction homogène et de degré m de x et de ses dérivées par rapport à u. C'est le cas précédent.