IV. — Équations différentielles linéaires

31^. On ;i|)prlle écjualion di Jf'érentlcllc lint'alrc cl Itonio^rne cVordre n une cqualion de la forme

P,, l\, [*„ étant des fonctions données de j:. Kn ^«'-néral. nruis

supposerons que ce sont des fonctions analyticpies.

On appelle équation dij/'érentielle linéaire d'ordre n mm homogène, ou avec second membre, une équation de la forme

P,, P.j, . . . , P„ et y étant des fonctions données de .r, qu'on suppose en général analytiques, [^'équation (2) comprend comme cas particulier l'équation (i).

L'équation (1) appartient aussi au tvpe des équations homogènes par rapport à y et ses dérivées. En posant y = e^, elle se triinsforme en une équation dordre n — i en :;'. Mais cette nouvelle équation n'est plus linéaire, de sorte que la transformation n'est pas, en général, avantageuse. Pour le montrer sur un exemple, j)renons l'équation linéaire et homogène du second ordre

En posant y = e^. on a

L'équation devient, après avoir disisé par e^,

z"-^z^^ Vz'^O ^o OU, en posant z' = a,

u'-^ u- -i- P « -:- Q = o ; on voit que a dépend d une équation de Hiccati.

313. Revenons au cas général et faisons quelques remarques concernant les é(juations linéaires.

Supposons qu'on connaisse une solution ri de léquation [i). Posons

io8 On a

dy cly\ dx dx