II

Ili cil AI'ITIIK V. — ÉQIAÏIONS DIFl' lillKNTlELI.KS.

L'équalioii caractéristique est

elle a pour racines i , — j , /, — /. I^a solution g('nérale de l'équation est donc

y = Ae^-+- Be-^^ Ce'-^+ De-''^= Ae-^-H Be-^^-t- A'cosa?-i- B'sina?.

320. l\xaniinons uiaiiilenant le cas où léquation carachTislique a des racines iniiltiples.

/• étant un nombre quelconque, considérons la l'onction obtenue en remplaçant j- par c'-'' dans le j)reniier uienibre de (i). On a

d"(e'-'-) ,- d"-Ue'-') ,, ^ ^

Dérivons cette relation par rapport à /• en intervertissant, dans cbaque ternie du |)rcniier nicnibre, Tordre des dérivations, ce qui

revient à écrire

dJ- \~d^ ) ~ d^-^'^^''^^-

On obtient la relation

oJ" ,^ d'^

-j—^^ (a?e''-'") -+- P| ^ ^ {xe>-'= )^. . .-^ V„xe'-^= (?''-f [.ro(/-) -4- 'f (r)].

Si /• est racine d ordre supérieur ou égal à 2 de l'équation caractéristique, 'f (/') et 'f'(/) sont nuls; par suite, le second membre est nul. Cela montre que xe'-'^ est une intégrale de l'équation (1).

D'une façon générale, dérivons h — 1 fois par rapport à /• la relation (9) en intervertissant, pour cbaque terme du premier membre. Tordre des dérivations par rapport à r et par rapport à /•. Si Ton reuiarque que Ton a

f/Z'-i /rf^-e'--^\ df'

(f/./i-i V dx/c / d.v'^'

on reconnaît que Ton obtient dans le premier membre l'expression

dx" ' dx''-^ ^ '

Quant au second membre, il est égal à e'"'' multiplié par un polynôme linéaire par rapport à cp, -^', ..., -pf'''~'^ Si r est racine d'ordre /i de l'équation caractéristique, il annule toutes ces fonctions et, par