IV. — Kiji A I IONS i>rFi-i:ui;\Tii.i,i,i:s i.i\k\iiii>. h
suite, \r sccdikI mcmluc. I )i)n(: .r^' ' f?''-'" csl une intt-i;f.ilc de rt'wiii.ilii'ii (I). 1^11 lésimié, si r est racine d'ordre h de réffucition C((/(tctérisli(/ue, les h fonctions e''-', xe''^, x'-e''-^, ..., .r^ ' e''-^ sont solutions de ( i).
Sdit'iil /,, /o /•) lt>s racines dislineles de riWjiialion caraclé-
risti(jiie: // , . //. //> leurs ordres de nudliplicilé respectifs. IXous
avons comme solutions particulières de (i) // , -f- A^ -+-. . .-f- /i> = // f\)nc lions, savoir :
(in I
xli\-i gr,x
On ohlieut une solution en prenant
n,, ..., ri), étant des polynômes arbitraires de degrés respectifs
h\ — 1 Ii\ — I. Je dis que c'est là la solution la plus générale
de (i). 11 suffit, pour le faire voir, de vérifier que les n fonctions (lo) sont linéairement indépendantes, c'est-à-dire qu'il n'existe pas entre ces fonctions de relation linéaire et homogène à coefficients constants non tous nuls. Cela revient à montrer (pion ne peut avoir de relation de la forme
Pi I^> étant des polynômes non tous nuls. En divisant par e'' ^
on aurait
o = P,(:r)-^...-f- e''n.-i\)jc R-, (.r ),
les dilFérences /^ — /•,, . . ., /) — i'\ étant toutes diflerentes de zéro. On peut dériver cette relation un nombre suffisant de fois pour faire disparaître les termes de P,(.r). On aurait alors une relation analogue contenant un terme de uKjins, les polvnomes qui remplacent P,. .... n'étant pas tous nuls. Kn opérant sur cette relation comme sur la précédente et en continuant ainsi, on arriverait à
o = e^-^'Tix),
s étant dillVrenl de zéro et T n étant pas identiquement nul. L ne telle relation est impossible; par suite, les n fonctions (lo) sont linéairement indépendantes, et la solution l;i plus ^é'ut'rale de (i) a la forme indicjuée.
1 iG chapitrl; v. — kql:atio>> dikkérentiellks.
321. Considérons le cas où l'équation différentielle donnée a ses coefficients réels. L'éqiialion caractéristique a ses racines réelles ou imaginaires conjuguées deux à deux. Aux racines a H- [ii et a — [if correspondent les solutions suivantes :
ou
e^-^{co%'^x -T- i ^xw'çtx), xe^-^{cos^x -^ i ûn^x), ....
e*-'^' ( cos p 37 — fsin^or), a:e*'^(cos j3a7 — tsin^a?), ....
La partie de l'intégrale générale corres[)ondant à ces racines peut se mettre sous la forme
e*-^cos3a7l'i(.r) + e'^-^' sin ^r Qi (a^), Pi et O, étant des polynômes.
