II. — l'DNCTIONS l»K VAHI\llI.i:S COMl'I.f.XKS

De même, s élaiil IoikIiom lidloiiioiplM' ilf /, on a

(}j: Oy ùjr ôy

ô() "^ ih' d^ ^~ r)(i '

Par siiito do ces lelalions, on ronslate (juil y a i(J<'nlilé entre —^ el

dO . . . ùV àO ^ , , . , ,

-7-^, ainsi (lu entre -— cl ^' Donc // a, |)ar rapport a la varialjle

complexe / ^ 0 -{-i~, une (leiixéc déterminée, à savoir :

âxjTiT) ^ \ày^'' ôy) ciO J '

ùu ôV

'ai ~ IJi) '^

c'est-à-dire

.dQ\

d.r ^ . dy \ V^ au ôz m^^'^J ~ ZdJz àt

Ainsi, a est fonction holomorphe par rapport à l'ensemble des variables t. /,, ^2' •••• et ses dérivées par rapport à chacune de ces variables sont données par la règle habituelle des fonctions composées.

21o. Comme cas parlicuilier, on voit que la somme, le produit el le quotient de deux fonctions holomorphes sont des fonctions holomorphes dont les dérivées s'obtiennent par les règles applicables aux fonctions de quantités réelles.

\]n polynôme par rapport à plusieurs variables z, z\ ... est fonction holomorphe de ces variables, chacune d'elles étant arbitraire dans son jjlan.

Considérons la fonction dune seule variable « = -• Elle est holomorphe dans tout le domaine D obtenu en supprimant du plan des :; un cercle de centre O. Cest en effet le quotient des deux fonctions holomorphes i et ::. et ; est différent de zéro dans D.

\]ne fonction radonnelle de plusieurs variables complexes, c'està-dire une fonction égale au quotient de deux polynômes, est holomorphe si les variables ;, z\ ... sont assujetties à rester dans des domaines D, D', ... de leurs plans respectifs choisis de telle façon que le dénominateur de la fraction ne soit jamais nul.

!210. Pondions ini/jliciles. — Considérons une équation de la forme

CIIAPITKI': IV. — FOXCriOXS VXAl.VÏIQUKS.

Fêtant fonction holoinorphe des variables c, z\ ... quand ces variables sont dans certains domaines D, D', . . . de leurs plans respectifs. Soient Co, ^'y, ... un système de valeurs de z, ;', ... intérieures à D, D', .... Comme dans le cas des Aariables réelles, nous appellerons point un tel système de valeurs. Supposons que l'on ait

Je dis que, dans ces conditions, on peut, au voisinage du point (^0) ^07 •••)' résoudre l'équation (i) par rapport à ^, c'està-dire trouver pour :; une fonction holomorplie des variables z' ., s", ... quand c', c", ... seront dans certains domaines contenant^!,, s'q, . . ., cette fonction satisfaisant à l'équation (i) et se réduisant à ^o quand z', s", ... se réduisent à :;'y, ;'y, ....

Soient ^ =z a: -f- iy ^ z' =^x + iy\ ..., F = P 4- «Q.

Résoudre l'équation ( j ) revient à résoudre par rapport \x x, y \q système

D'après la théorie des fonctions implicites de variables réelles (t. I, p. io4), il faut étudier le déterminant fonclionnel de P et Q par rapport à .r, j', c'est-à-dire

Ox Oy

dx Oy

En vertu des relations dbolomorpliie, il est égal à

dx)

or, on a

et cette dérivée est différente de zéro au ; point (z^^, z'^^, z"^, ...);

•1 ' u <^P ''Q II

il en resuJte que — ^ et -^ ne sont pas tous deux nuls en ce point.

Donc le déterminant fonctionnel précédent est diflerent de zéro pour le système de valeurs (x^, yo, ^'a-, y'^' •••)• J^^ous sommes alors dans les conditions d'application du théorème des fonctions implicites. Des équations (2), on peut tirer pour x, y deux fonctions continues des