Equations avec second membre. — Considérons léqriPtion

soient y^ une intégrale |)arti(ulière de cette équation, y 1 intégrale générale. En posant

on \(>il que :; est la solution générale de léquation précédente où l'on fait /'^ o, c'est-à-dire de l'équation sans second membre.

D'autre part, nous avons vu que, si 1 on connaît la solution générale de Téquation sans second membre, la méthode de la variation des constantes permet d'obienir l'intégrale générale de (2) par des quadratures.

Remarquons (]ue si le second membre de (2) est de la forme ç* 4- 6-1- y, si }', est une solution de l'équation dont le second membre est 'j, y^, une solution de l'équation dont le second membre

Il8 CHAPITRF V. — ÉQVATIONS DIFKKRENTIELLES.

est 'h, ) 3 une solution de l'équation donl le second membre est y, j'i -hj)'2 + JK3 est solution de (?. ).

Nous allons montrer comment, dans le cas où l*,, P^, . . . , V,/ sont constants, on peut trouver simplement des inl('grales particulières lorsque /"(a:) est un polynôme par ra|)])()rl à ,r et à des expressions de la forme e^^.

3;2o. En premier lieu, supposons que le second membre de (2) soit un polynôme Iv(j:) de degré |a

Ao-r!^— Aia-P--' + . . .H- A|j.,.T- -+- Ajj..

Je dis que l'on peut trouver une intégrale de (2) constituée par un polynôme de degré pi, soit

y — 'Xqx\>--t- a,rt^-' -4- ...-+- au,.

En effet, cherchons à satisfaire à (2) par une fonction de cette forme. Nous sommes conduits à identifier l'expression

P„(ao.r!A-i-. . .-^ a^, ) — P„ , ( ;i.ay j-l^--' -:- . . .-;- au.i ) -1- . . .

avec H(.r). En égalant les cocilicieuts de u.!^-, on a

P„ao= Ao.

Si P«^ o, on tire de là 7.,,. En égalant ensuite les coefficients de.r!^~*,

on a

P„a,+ P„, îiao= A,,

relation qui détermine a,. On détermine ainsi successivement les a + 1 coefficients de )\ Donc il y a, dans le cas de P„^o, un polynôme de degré a qui est solution de (2 ).

Supposons I^„ nul, ainsi que P/,), ..., P,i k+\', alors la dérivée

d ordre minimum qui iigure dans ( 2) est -j-^'

On peut considérer l'équation comme étant d'ordre n — ■ k par rapport à cette dérivée, qu'on prendra comme fonction inconnue. Cette nouvelle équation rentre dans les conditions précédentes. On

y satisfait en prenant pour -^-^ un polynôme de degré y.. Par k qua-

dratux-es, on en déduit pour y un polynôme de degré u -+- /.■ qui satisfait à (2).

3!26. Supposons maintenant que le second membre de l'équation donnée soit e^-^'R(x), g étant un nombre constant, R un poljnome.