IV. — EQl'ATIONS nirriildCMIKI.LES I.INEAIUICS. II
Pdsons
7 = ceA'«-,
d.v " \ clx
(ly / dz \ fl-v / (l^ z dz
d''-Y fd^z dz \
,lk y
Dune façon "énéralc, —~- est écal à eS'' nniltiplii' |);ii' iiru- coinlii-
liaison linc-aire de :;, -7^ ^ • • • > —rA-- Kn iiorlanl ces valeurs dans (a), dx dx'' ' '■ '
on voit que eS'' est en l'acteur dans les deux membres. En supprimant
ce facteur, on obtient en r une équation difï'érentiell'C linéaire
d'ordre «, dans laquelle le second membre est un [lolynome. Celte
équation renlre donc dans le cas précédent et admet pour intégrale
un polviioiiie.
327. Supposons (pie le second membre soit de la lorme l^eS-^ Vi^x). On cherche séparément une intégrale pour chaque équation obtenue en prenant dans le second membre un seul des termes eo-^P(.r). On prend ensuite la somme de ces intégrales particulières. C'est une intégrale particulière de l'équation donnée.
La méthode exposée s'applique au cas où le second membre est un polynôme en x, e»'". ..., cosax, sinajc, cos,3.r, sin^r, ..., en exprimant les fonctions trigonométriques au moyen d'exponentielles.
328. Systèmes d'équations linéaires. — Considérons le système de n équations différentielles linéaires à n fonctions inconnues
(1) ' dx
ig-^p,r + Q,= +. .^R,<=v,.
dx
les P, Q, R, . . . , V étant des fonctions données de x.
Le problème de l'intégration de ce système peut se ramener aux problèmes précédents par des o|)érations algébriques. En effet, dérivons n — I fois chacune des équations (i). Nous obtenons ainsi n- équations entre lesquelles nous pouvons éliminer les fonctions ;, ..., t et leurs dérivées jusqu'à Tordre n, soit donc en tout {n — 1) (/i -h i) = /i- — I fonctions, qui d'ailleurs entrent linéairement
I20 CHAPITRE V. — EQUATIONS DIFFKRENTIKLI.ES.
dans les équations. Le résultat de réliminatiou est une équation linéaire entre y et ses dérivées jusqu'à l'ordre //. Nous allons étudier directement le système (i ).
