IV. - KOCMioNs iiii"i'i:ni'.Ni iii.i.is i,im:mhi:s
à ces ('qiialions par dos loiiclioiis de l.i loiinc
t = c-i<i -+-. . . I- Cil,,,
f,, r.j c„ élaiiL certaines fonctions de .r qu'il s'agit de déterminer. Portons ces expressions dans les équations (i) et cherchons par exemple le coefficient de Ci dans le premier membre de la première écpiiilion. On a
dy dy r ,
dx dx
on voit (pie le coefficient de C| est la fonction
qui e^t nulle j)ar liy|)othèse. De même, les coefficients de c^. sont nuls. Les ('(piations (i) sont donc remplacées par
^ c'a yi-^. .
On a ainsi /? équations linéaires entre c, , c.,, .... c\^. Le déterminant de ces équations est diflerent de o, du fait que les systèmes de solutions sont indépendants. Elles permettent donc de calculer c', , c.'., . . . , c\^. Par des quadratures, on en déduira C(, Co, . . .. c„.
31^1 . Si les \ sont nuls, la solution de ce système est
Cela montre que la solution générale du système sans seconds membres est une combinaison linéaire et homogène des premières solutions.
332. Dans le cas où les P, Q, ..., Rsont constants et où les \ sont nuls, en utilisant les résultats obtenus (n" 318), on reconnaît que 1 on doit trou\er pour r une solution île la forme y.r''^; de là résulte (jue z, qui est une cond)inaison linéaire et homogène de y et de ses dérivées, est aussi de la forme (Se'*"; il en est de même pour les autres
122 ClIAlTlUt: V. — liQL'ATIONS DIl FÉRKN Tl i:Ll.i:S.
fonctions. On est alors conduit à chercher directement pour (i) des solutions de cette forme.
l'renons, pour fixer les idées, le système de trois équations suivant :
dy
-j h ay -\- bz -^ eu = o,
dz dx
du „ , ,,
a^ b, . . . étant des nombres donnés.
Cherchons un système de solutions de la forme
— -ip.rx'
on est conduit à résoudre les écpialions
Ce sont trois équations homogènes en a, p, y qui doivent avoir en a, ^, Y des solutions non toutes nulles. Il faut donc que Ton ait
an-/' b c
Cette équation en r est l'équation caractéristique du système (i); si /"o en est une racine simple, pour r ^= î\ les écjuations (2) sont compatibles en a, [3, y et déterminent a, ^3, y. 11 en résulte, pour (i), un système d'intégrales. Si /o est une racine double de (3), l'équation en jK a pour intégrales correspondantes e''"^ et xe''^''. On cherche alors à satisfaire à (1) par des fonctions de la forme
y = e''o-^(k -+- hx), z — e''o-^( A'-hB'a-), Il = e/-„j:( v'-^ BV),
A, B, A', B', A", B" étant des coefficients constants que l'on détermine comme on a déterminé a, 3, v.
Prenons par exemple le système suivant :
^- 3r dx
dz dx
