TT

Nous modifierons les notations de façon à introduire la symétrie entre la variable et les fonctions et nous considérerons un système d'équations dilTérentielles mis sous la forme

dx\ dxn dx„

les X étant des fonctions données des n varialjles .r,, X21 • ' • x„- De celte manière, on ne spécifie pas quelle est, parmi les variables .r,, x> . ■ ■ x,,^ la variable indépendante. Si, dans un certain domaine de variation pour x^^ x-2-, . - • x„, la fonction X,- par exemple reste diflerente de o, le système pourra se mettre sous la forme suivante

dxk X/, . .

—7 — = T7-> A- = I, 2 / — I, j + I, . . . , rt ;

dxi Xi

on AU — I équations différentielles ordinaires, la variable indépendante étant Xi elles fonctions inconnues étant .r,, ...,.r/,, Xi^i^ ...,x„. On peut encore procéder autrement, en introduisant une nouvelle variable t et écrivant

dx^ dx,i ,

On considère alors x^^ x-2,. . . ..x„ comme fonctions de la variable indépendante /.

334. Dans tous les cas, on sait que, sous certaines conditions qui

V. — SYSTKMKS DIK|-KHIiNTIl:i,S liT KOI'ATIONS I.IM: AIRKS. ty,

ont élé préciscTS dans le tli('orrino ircxislfmc, \c svsirmo (i);Hlm<'i un sjslènie (l'inlégralcs dépr-ndanl de // i < unslantfs arhili aires f'i' fiii •••? ''i/.i- Si 'i |»ar exemple est la vaii.dtle iiidi'jxMidaule, un auia une stdulidu de la forinc

Xi = 02{Xt, c,, . . ., c„,i.

^n= 0„(.ri. C|, . . ., c,,-,)-

Supposons qu'on puisse résoudre ces équations par rapport à c,. Co. . . . .c« |. On obtiendra n — i relations de la forme

/i {-ri,.ro, ...,rf„) = d, ^2^ j /î (>i,-r2, ...,J'„)= 6-2,

Etudions les propriétés de ces fonctions /. L'une quelconque dentre elles reste conslanle lorsque .ri, .r.., ^ ,/ Narienl de manière à satisfaire aux équations (i), de sorte que l'on a, dans ces conditions,

Or, on a toujours

•^ ÔXi OXa

En tenant compte des équations (i ), on doit donc a\oir la relation

oxi âxo ox,i

cette relation étant vérifiée pour toute fonction / qui reste constante lorsque ^i , .ro, . . ., x,i varient de façon à satisfaire aux équations (i). Or, dans les intégrales de (i). mises sous la forme (2), par exemple, on peut prendre arbitrairement la valeur initiale {xx)o de .Ti, puis les valeurs initiales (o^ojo, •-•1 (-^/Oo correspondant à (^i)o; par conséquent, (3) doit être vérifiée pour tout svsième de valeurs de x,, .r^, ..., cT,,, c'est-à-dire doit avoir lieu identiquement, avec la seule réserve que les systèmes de \aleurs considérés sont compris dans le domaine où les conditions d'existence et d'holomorphie sont réalisées. La relation (3) est une équation linéaire et homogène aux dérivées partielles. On ^oit cpie toute fonction f du système (2) satisfait à cette équation.

126 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFÉKENTIELLES.

Réciproquement, étant donnée une fonction /"satisfaisant à l'équation (3), si les quantités Xf, x<xi •••, Xn varient en fonction d'un paramètre de manière que leurs différentielles satisfassent aux relations (i), on reconnaît que la différentielle rf/' correspondante est nidle. Donc, dans ces conditions, /reste constant.

Toute fonction f satisfaisant à (3), c'est-à-dire toute intégrale de (3), est dite une inlégiale première du système (i).

33o. Soient /'(./"o /'/,, Il intégrales de (3). Je dis que toute

fonction

constituée en prenant une fonction arbitraire de J^. /.,, ..., y/,, est une intégrale de (3 ;. En ctlet. nous avons

dxi df\ dxi dfi dx, ' ' ' ' of/i Oxi ^ ■> • • -i

Formons la combinaison

dV t)F dV

dx I ' dXi ' ' ' " ÔXn

Le coefficient de -> est X, -^ -+-. . .-i- X,, t^> c'est-à-dire o par oji dxi dx„ I

liypolhèse; il en est de même pour les coefficients de -^) • • ■ , — !-• La fonction F vérifie donc la relation (3).

5e dis c\ue^ si l'on connaît n — i intég/rdesde (3), f^^/^, ...;/,;,, constituant un système de fonctions indépendantes , toute autre intégrale de (3) est une fonction des n — i premières.

y,, /"s, ..., /n-\ étant des fonctions indépendantes, si l'on considère le Tableau des dérivées

df,- fi =1, '2, . . ., n — 1 \

dxi, \k = \, 1, . .., n /'

les déterminants d'ordre n — r issus de ce Tableau ne sont pas tous nuls. Soit /'une intégrale de (3); remplaçons successivement dans (3) la fonction inconnue par/,, /o, ...,/„,,/. On a ainsi n relations linéaires et homogènes entre les fonctions non toutes nulles X, , X;., . . ., X„. On en déduit que le déterminant correspondant est nul,

V. — SYSTÈMES i»ii'i-i':i«r.NTii:i,s i:r ÉyiAiioNS i.imcaiuks. cesl-à-ditc (\uc Ton a

'Il

àx„

dXi

Oj.,

dX.r

OXn

C.oniine les déterminaiils d'ordre n — i issus des n — i premières lignes ne sont |)as tous nuls par hypothèse, la théorie des fonctions dépendaules luoiili-c (|ue / est lonclioii de /", , J\, ...,/„, (^cf. l. I. n" I lo, p. loc) ).

En résumé, l(( solution générale de (3) est de la Jornw C2 (/\,/'2^ • ■ •: fn-\ )i 'f étant une fonction arbitraire et /',, f\^ . . ., /fi-{ étant n — i solutions particulières de {?>) formant un système de fonctions indépendantes.

336. Nous allons étudier ce que deviennent, par un changement des variables indépendantes j:,, Xo, . . ., x,i, d'une part le système ( i), d'autre part l'équation (3).

Soit le changement de variables défini par les relations

(4) a", = 9,(7i, ..., j„). ..., .<••„= 9„(7i, ...,JK„)-

On suppose que cette substitution est réversible, c'est-à-dire que

^iru r-2: ■■■,jn)

EfTecluons d'abord le changement de variables défini par (4) dans les équations (i). Soit À la valeur c(jinmune des rapports -^; ces équations s'écrivent :

dxi = X X/.

Parlons des formulci

128 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS IHKFÉUENTIliLLES.

En tenant compte de (5), elles deviennent

On voit donc que si l'on pose

' âxi ' " " àxo ' ' ' " àx,i

le système (i) se Iransioiine en un svslènie qui j)cut se n)etlre sous la forme

cr^ l'j — ^ — - ':!Zji

Effectuons maintenant le même changement de variables dans l'équation (3).

Etant donnée une lunction quelconque /(^,, ^a? •••^•x^/i): désignons par F(j", , T'j, ....j'„) ce que devient cette fonction par le changement de variables considéré. Nous avons

^ OF dj^ à^àyi OF dy„

OXi àji dxi Oji OXi ' ' ' dy,i ôxi

Formons, avec ces expressions, la coml)inaison X "^f ^x ^/ ^ ■ x "^

axi ôx^ <)x,i

c'est-à-dire le premier membre de (3). On reconnaît que le coeffi-

j àF cient de - — est

àyk

OX, ÔX-y OX,i

c'est-à-dire 11 a.

Léquation (3) se transforme donc en léquation suivante :

.- àF ,, ùF ^, dF

Ainsi, en ellectuant le même changement de variables, d'une part sur les équations (i^, d'autre part sur l'équation (3), on obtient

V. — SVSTKMKS l)l|-Kl':iti:NTIKI.S Kt liyl ATIONS I,INK\im;S. I'i()

les équations (6) et (■j), la iclaliitn i^u\rn ((')) et (7) (•l.nil l.i iiiriiic qu'cnlre (1) et (3).

D'a|)rès cela, siy est une lnt(-grale de ('■'»), la fonrlioii I' I r;iri-.rorin<'e dey est une intégrale de (7), et rrciprocjucmmi. Un système do A intégrales indépendantes de l'une des éf(ualions (3) ou (7) se Iransforme en un système de h intégrales indépendantes de l'autre.

337. En ce qui concerne l'intégration du système (1), si l'on connaît /i — i intégrales indt-pendanles de l'équation ('.]), soient y,, /2i • ■••ifii-\i en les égalant à des constantes C), Co, . . ., c„( , on a des équations que Ton peut résoudre par rapport à n — i des variables et (pii fournissent la solution gén('rale du système (i); on peut disposer des constantes pour faire correspondre à une valeur donnée de x^^ n — ■ i valeurs données pour .To, . . ., x,,.

338. Supposons (pie l'on connaisse p [p <C n — i) intégrales premières de (i), constituant/:) intégrales indépendantes de (3^. Cherclions à tirer parti de la connaissance de ces intégrales pour faciliter la résolution du [iroblème.

Soit donc/i, /o, . . ., fp un système de p intégrales indépendantes de (3). L'un au moins des déterminants fonctionnels dey"), y^, ..., Jp par rapport aux x est différent de o. Supposons que ce soit

Kjii ./2> ■ ■ ■ij i>> ^ Paisons un changement de variables en inlrodni- D(a-,, a-î, ..., ic,,) "

sant des variables j^ définies de la façon suivante. Nous posons

' fi (.7-,, Xi, . . ., X„) =1-1,

fl.iX^, X-i. . . ., Xn) =f,„ (8)

X ,1 — y II .

Ce système d'équations peut être résolu par rapport aux x. Il siiflil pour cela de faire rinverslon des p premières relations par raj)|)ort àjTi, x-^. ..., Xp, ce qui est |)(>ssil)lc d'après l'hypothèse

On peut donc définir le changement de variables par des équations B. - II. 9

l3o CIIAI'ITRK V. - KglATlONS DIFFERENTIELLES.

de la forme suivante :

^'n — yn •

Par le changement de variables (9), le système (i) et l'équation (3) se transforment resj)ecti\ement en un système (6) el une équation (7). Cette équation (7) doit être vérifiée par les fonctions F qui sont les transformées de/,, /., .... fp, c'est-à-dire par les fonctions y,,

Or. |)Our F= r,, par exemple, on a

0¥ oV «^f

^yi ~ ' '>yi ' ' ' 4>'«

Pour que {- ) soit vérifiée par cette fonction, il faut que l'on ait

On reconnaît de même que l'on doit avoir V'î = . . . = Y/, = o, «le sorte que Téqualion ( 7 ) a la forme suivante :

Le système (6) est le suivant :

dj'\ dVi __ dVf, 00 0

dt■,,-^-l

dVn

il conduit aux équations

dyi = dy, = .

..= dyp=o

dvp^i

Des/? premières équations résulte <:,, Co, .. ., Cp étant des constantes arbitraires. Il reste à intégrer un

V. — SVSIKMKS DIKKKUKNTIIMS KT ICyi! \ I KiNS I,IM:\|IU;S. I»!

svsiriiic coiilciiiiiil n /' v;iii;il)|cs ]'/,^i . .... 1',, liirs UAV II n ~ \ rclalions (liHV-renlirlIts.

Si Con connaît /> intégrales jircniicn's indi'iii'iiilantea lir (i), on 1rs égale à des constantes Ci, c^, .. ., Cp, on résout les j) éfj nations ainsi obtenues par rapport à .r,, ./■., r,, rfiii se troinent

exprimées en fonction de Xp^y^ ..., .r„ et de c,, Oo Cp. On

jtorte ces fonctions dans le système (i), qui se réduit alors à un système d'équations difjérentielles comprenant p fonctions et p équations de moins.

H résiille de tout l'ensenihle de la ihéoric que le proijlèine de la lecherclie de la solution "énérale du système (i) et celui de l'intésTralion de (3) sont deux problèmes éf[ui\alents.

ii39. Donnons (|uelques applications de cette théorie. Soit le système

dx dy ilz

(i) - =r /•(- — (iz- -^ —. pz — r.r, __ z= r/.r — py.

^ dt ' dt ' ,lt ' '•^'

/>, q, r étant (\e> fonctions données de t. Formons la combinaison

dx dy dz , , , ...

X -, '- y -, -\-z-j-; le second membre est identiquement nul. et.

al ^ dt dt '

comme le premier est la dincrentielle de x--r-y--\- ;-, on en déduit

La fonction x- -\- y- -r- z- est une intégrale première du système donné. La combinaison que Ton a formée pour l'obtenir est dite une combinaison intégrable des équations données.

On |)eut de la relation obtenue tirer, par exemple, z en fonction de x^i JK, c, puis, j)orter dans les écpialions ( i) qui se réduisent alor.» à deux. On a

et les deux équations

dr I

<iy :, ;

-— = p y C — X- — V* — rx.

l32 CHAPITRE V. — EQUATIONS DIFFÉRENTIELLKS.

On peut vérifier que la troisième équation est satisfaite d'ellemême. On à, en effet, d'après l'équation (2),

dx dy

dz ~ '^ li '^ ■^ dl

ou, en remplaçant 7^ et -^ par leurs valeurs,

dz ( q X — py ) s/c — x- — y'

-j; -- — — — = 9x- py-

ai ^ Q j-i yl

La connaissance d'une intégrale première nous permet donc, comme la théorie générale nous lavait ap[)ris, de diminuer d'une unité le nombre des équations et des fonctions inconnues.