V. — SYSTÈMES niFFKBENTIELS ET ÉQUATIONS MNÉAIHES. I 'i

3il. Supposons niainlcnant cju'il s'agisse {l'éludlor une f'qnalion linéaire el lioniogrnc aux dcrivôcs parlielles. Soil It-qualion

' ôx ^ (ly dz

D'après la théorie générale, on doii former le système d'équations difierenlielles auxiliaire

(ix dy riz

En égalant le premier et le second rapport, puis le premier el le troisième, on obtient des équations difierenlielles dans lesquelles les variables sont séparées cl d'où Ton tire, en intégrant,

^ = r-i, == cj.

Donc la solution générale de l'équation donnée est la fonction

CD étant une fonction arbitraire. On sait qu'en l'égalant à o, on a l'équation générale des cônes de sommets «, è, c.

S^â. Soit à intégrer l'équation

x'^4- — •'■^y^ — {ix"^-^ xz-\- ^y'^)4- = *>•

dx ày -^ ' dz

Considérons le système auxiliaire

dx dy dz

x'^ zxv -iX'-h X z -r- ^y-

En prenant les deux premiers rapports, on oblicnl lintégrale première

Pour simplifier l'étude du système, lirons de celte équation j- en fonction de y el de x, et portons cette \aleur dans le troisième rapport, que nous égalons au premier.

Il vient

dx dz

l'}4 CIIAl'ITRi; V. — KylATlO.vS 1)1 1-l'KRKNTlEIJ.KS.

1 ix- -t- t z -^ ^ ) d.r — - x- ilz = (I.

ou, en divisant par :r,

■XX -^ s -+- \- \ clx -r- X (/z = O. X- j

En remarquant que zcIx-\-xdz esl la difFérenlielle de xz., on voit que le premier membre de cette relation esl une dillérentielle exacte. On déduit de là

On a finalemetil les deux intégrales |)i'emit'rcs

x-y = A, x' -+- X z — xy- — ijl.

Par suite, la solution générale de l'équation aux dérivées partielles

donnée est

o( x-r, x- -+- xz — ■xy- )■

343. Équations aux dérivées partielles linéaires non homogènes. — Consi(l»'rons 1 ('-(piation

<)Xy ' 0X2 0X„

Z étant une fonction inconnue des Nariables J7,, x^-, 'l'n', l'i-

Po, ..., P«, R étant des fonctions analytiques données de r,, ..., x,i , z .

Nous poserons, d'une façon générale,

àz L'équation (i) s'écrit alors

Cherchons à déterminer une fonction Y de .r,, x-^^ •■ •, x,i. z telle que l'équation

(•2) ^ (.''"1, Ti X„. Z) — O,

résolue par rapport à ::. définisse pour z une fonction de .r, . .r.j, . . ..x„ qui soit solution de (1). Chei'chons à quelles conditions doit satisfaire V. c- étant défini pai- (2). dérivons cette équation {y. ) par rap-

V. — SYSTKMKS lil ri'KUlCN TIKLS KT KQ f ATIO.NS LlNKAiniia. l3'>

porl à .r/; on a

d\)ii

dxi Oz

Kn portant cette valcnr de />/.dans ré(|ualion (i), celle-ci prend lu forme

Oxi <).r-2 Ox„ Oz

C'est, par rapport à la fonction inconnue ,V, une équation homogène à /i H- I variables. Si l'on a une solution de l'équation (3), en égalante o cette solution, on définit une^certaine fonction implicite :? deo^i, ..., Xi, qui véiilie l'équation (i). Mais nous ne savons pas si l'on obtient par ce procédé toutes les solutions de (i).

3i4. Supposons qu'on connaisse la solution générale de (3), ce qui suppose qu'on a déterminé n solutions indé-pendantes V,, Vo, ..., \n de cette équation. Toute intégrale de (3) est de la forme ^(Vi, Vo, ..., V„). Nous allons chercher si toute intégrale de (i) satisfait à une relation de la forme <I> :^ o.

Partons d'une intégrale déterminée de (i). Dans V,, \ 2, •••, ^ «> remplaçons :; par cette fonction et posons d'une façon générale

tl((3"i, 3^2, . . .,Xn) — V/( 2,3-1, ■ . . or„) { i = \ . . . . , n ).

Formons le déterminant fonctionnel A des U par rapport aux x. On a

O.r, Ox , Ox„

Or, Ox.,

Ox„

Or, on a

dU/ OMi Oz Ox,, oz Ox,,

OV, Ox„

d'où

0\i 0\\ OVt dV, Ox, ~*~ Oz^' Ox, Oz P-

0\\ 0\\ Ox., dzP"

0\'n , à\'„ 0\ „ Os„ Ox, ^ Oz ^' ox, Oz '''-

à\'n ^ à\„ Ox„ ' dz P"

l36 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFI'KRKNTIKLLES.

En décomposanl ce délerminant par la niétliode liabiuielle, on obtient une somme de i" déterminants partiels. Tout dëterminantpartiel contenant deux colonnes renfermant les quantités/? est nul, comme ayant deux colonnes proportionnelles. A est donc égal au déterminant par-

-, ■,.,,., I)(Vi, V2, . .., V„) tiel ne contenant aucune quantité />, c est-a-dirc a ■=— -^

plus la somme de p déterminants dans chacun desquels une colonne contient en facteur/?/. On a donc

(4) ^ = ,>. .. ,. :— , '- y.Pi

D'autre part, les ^ étant solutions de l'équation (3), on a les n relations suivantes :

(5) \\-^-^\\-—-^-...^V„—±=—\\--L (f = 1,9., ...,rt .

OXi (Jjn OXn ôz

Le système (5), considéré conime un système d'équations linéaires homogènes par rapport aux quantités P,, Po, ..., P//, R, les définit à un facteur de proportionnalité près, car, si Ton pose

D{Xi,X2, . . .,x.,)'' ' D(./-,, ...,./•,,, ^, .?/^], .. .,j-„/

les déterminants D,,, D,, .... 1)„ ne sont pas tous nuls, du fait que V,, Vo. ..., \ ,j sont intégrales indépendantes de (3).

En résolvant les équations (5) par la règle de Cramer, on obtient, M étant un certain facteur,

(6) r/=:MD„ R=— MDo.

Remarquons que, les D n'étant |)as tous nuls, on peut, d'une au moins des relations (G), tirer M, qui peut donc être considéré comme connu.

Cela posé, l'équation (4) s'écrit

d'où Ion déduit, d'après (6), en multipliant par M,

(7) AM^vp.^.R.

Or, lorsque :: est intégrale de (i), le second membre est nul;

donc on a alors

AM = o,

ce qui exige soit A = o, soit M = o.