V. — SYSTÈMES blKKKRIiMli;i.S Kl L^t ATlO.NS^LlM.AlHBh. I iy

Si A = u, c est que les fonctions U sont liées par une rel.ition '!>( U,, Uî, U„; = (),

ce qui revient ;i dire (|ue2, considéré comme solution de (i), satisfait

à l'équation

et est défini par cette équation. Donc, dans le cas de A = o, la solution z de l'équation (i) est fournie par la méthode indiquée.

11 reste comme intégrales pouvant n être pas données par celle méthode celles qui satisfont à 1 équation

Ce sont des intégrales qu'on j)eul appeler intégrales singulières; elles annulent P,, 1\, ..., 1'/,. R, et ne contiennent ni constantes, ni fonctions arbitraires.

Si l'on cherche seuleu.enl les solutions de (i) contenant des fonctions arbitraires, on a la règle pratique suivante :

Etant donnée l' équation [i)^ pour l'intégrer, on forme le système d'équations dijjérentielles

dxi dx-i dx,i __ dz

t; ^T7 ==•••= iv"ir'

Supposons qu'on ait la solution générale de ce système, c està-dire qu'on en connaisse n intégrales premières indépendantes,

/l = C], . . ., J II = C,i';

on établit entre ces intégrales premières une relation arbitraire

La solution générale de (i) est la fonction z de Xt, x-i-, ■■ -, JCh définie par cette équation.

3io. Donnons des exemples dapplicalion de cette méthode. Soit

1 équation

dz ^^ , ^-^ -

Xy h X2 -— i-. . .-f- a*,j -— - — pZ^

clXi OXî OXn

où p est une constante donnée. ?sous de\ons considérer le système d'équations différentielles suivant :

dr^ dx-i lIx,i dz

X\ x-> X /i pz

l3& CUAPITUE V. — KQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Cherchons des inlégrales premières de ce système. En égalant le premier rapport successivement à chacun des autres, on a des équations que l'on peut intégrer et qui donnent

— = Cl. — = C2, . . . , = C„i, — - = C„.

Xi Xy Xi X'(

D'ailleurs, toutes ces intégrales premières sont indépendantes. La solution générale de l'équation donnée s'obtient en établissant une relation arbitraire entre ces fonctions, soit

Xi Xi

Xi xi'J

ou, en résolvant par rapport à z^

/ Xi X.i Xn\

z = X^iOl — , — , ■ ■ -, — .

\Xi Xi Xi I

On voit (pie ; est une fonction homogène et de degi'é /? des variables

Xi , X-^1 .... X I, .