Soit l'équaticjn

bx — ay -~ (bz— cy) h (ex — az) -— = o.

ox ' dy

\ - sA>ii;.Mi:s iHrriciiKMiKi.s kt kuiatkins i.im; \itiis. i !<»

Le système auxiliaire esl

li.r fly riz

h z — c y ex — a z a y — /)x

Clierelions à fi)riiier des conihinaisons inlri^iablcs de ces ••(|iiaLi(»iis, c'est-à-dire des combinaisons doniianl iieii à diflérentielles exactes. Multiplions les deux termes du premier rap|)ort par a, les deux termes du second par ^, les deux ternies du troisième par c, et ajoutons. Le dénominateur obtenu est identiquement nul; donc on doit

a\ i)ir

a (il- - h (ly -i- c c/z = o,

d'où l'intégrale première

ax -h by -^ cz = c,.

En multi|diant de même par .r, i', z et ajoutant terme à terme, on

obtient

X dx -h y dy ^ z dz = o.

d'où l'intégrale première

On a deux intégrales premières qui sont d'ailleurs indépendantes. Il en résulte que la solution générale de l'équation est donnée par

(s(x- -r- y- -i- z'^, ax -i- by -{- cz ) ^ o.

C'est l'équation générale des surfaces de révolution ayant pour axe la droite passant par l'origine et ayant pour paramètres a, b^ \.

348. Interprétation géométrique de la méthode d'intégration. — Prenons d'abord le cas d'une fonction z de deux variables indépendantes X. y, et posons

dz dz

Considérons l'équation aux fb-rivées parlieMcs ( I ) Vp — Q ^ = H ,

P, Q, R étant des fonctions données de x, y. z. Il s'agit de trouver une fonction z = '-^{x, y) vérifiant (i).

Considérons la surface représentée en coordonnées cartésiennes

l4o CHAPITRE V. — EQUATIONS DIFFF.RENTIEIJ.ES.

rectangulaires par l'équation

(2) z = aia;y).

Nous dirons que c'est une 5;^/;/<2ce m/^^o/r//<? pour (i). Le plan langent à cette surlace au point (a:, y, z) a pour expiation

Convenons de faire correspondre à tout point (x, y, z) de l'espace la droite D ayant pour équations

(4) Ar^- Y-^ Z-.

D'après cela, et en \ertu de Téquation (i), 5/ z =r^ '^{x, y) est une su/face intégrale j)Our {^\), en tout point {x, j', z) de cette surface, le plan tangent contient la droite D correspondante.

Nous appellerons courbe caractéristique une courbe définie par la condition d'être, en chacun de ses points, tangente à la droite D correspondant à ce point. Or, on sait qu'en un point a:, y^ z d'une courbe, les coefficients directeurs de la tangente sont proportionnels à dx^i dy, dz. On doit donc a\oir en tout point d'une courbe caractéristique

dx dy dz

P(2-, j-, 5) Kl(x,y,z) R(a7,j, 5j

Réciproquement, toute courbe vérifiant ces relations est une courbe caractéristique.

Ce système (5) est le système auxiliaire que nous avons introduit pour intégrer (i). Soient

deux intégrales premières de ce système; ce seront les équations des courbes caractéristiques. Elles dépendent de deux paramètres.

D'autre part, la solution*générale de (1) est obtenue en introduisant une relation arbitraire entre 'h et «1/,, soit

D'après la théorie de la génération des surfaces, cette équation est l'équation générale des surfaces] engendrées par une courbe de la famille

V. — SYSTKMKS niKFKnENTII' I.S KT liçUATIONS I.lNK.MHi:s. [jt

se déplaçant en fonction d'un paramètre. Donc. j)our obtenir 1rs surfaces intégrales rie (i), on considère les courbes caraclérislif/ues dont les équations (6) s'obtiennent en intégrant le système (5). On assujettit les deux paranictri's À, a dont dépendent ces courbes à une relation F(X, ij.) :=o. Elles varient alors en fonction d'un paramètre et engendrent des suif aces qui sont surfaces intégrales pou/- (i).

Dans rexonij)le du n" 346,

dz L ^^ ôx ày '

les courbes caraclérislifjues ont pour équations X — az = )., y — b z ^ \x.

Ce sont des dioiles parallèles à la direction delparamètres «, b^ i. Les surfaces intégrales sont des cylindres ayant ces droites pour génératrices.

Dans l'exemple du n" 347, les caractéristiques ont pour équations

ax -^ h y -f- C-; = X, ^■- -i- y- -h ;;'- = a.

Ce sont des cercles ayant pour axe la droite d'équations

X r z abc

Les surfaces engendrées par ces cercles, c'est-à-dire les surfaces intégrales, sont des surfaces de révolution.

On sait ([ue le mouvement d'une courbe dépendant de deux paramètres estdélini si l'on assujettit cette courbe à rencontrer une courbe fixe. La courbe mobile engendre une cei'taine surface qui contient la courbe fixe. En appliquant ceci aux courbes caractéristiques, on voit qu'étant donnée une courbe fixe, on peut trouver une surface intégrale contenant cette courbe fixe.

3-49. Dans le cas de n variables indépendantes [n > 2), on peut interpréter les résultats en un langage géométrique conventionnel. Nous dirons qu'une relation

; = cp(.r,, x^, .,.,x,i)

définit une surface dans l'espace à n -\- 1 dimensions, et (pi'un système de relations où X| , .r-j; . . ., .r„. z sont fonctions de t définit une courbe dans cet espace.

iji CHAPITIIK V. — KQUATIONS Dll-I'KKKXTIKLI.ES.

Cela posé, étant donnés l'équation aux dérivées partielles et le sjslcnie auxiliaire ((ui lui est associé,

cl.i^ (Ij-i rl.r,, (Iz

si la solution générale de ce système est

i]>i(jri, . . ., j;,j, s ) = Cl, ...., •l„{.ry, .. .. Tu, z) — c

nous dirons encore (pie ces équations représentent une famille de courbes caractéristiques. Ces courbes dépendent de n paramètres ; en établissant une relation arbitraire entre ces paramètres, c'est-à-dire en faisant varier les caractéristiques en fonction de n — i paramètres, on obtient des surfaces intégrales.