VI. Équations aux différentielles totales

350. Considérons la relation suivante : ( I ) dz ^ fidri-T- /'., dxo -f- . . . j- /„ dx„ ,

dans laquelle z est une fonction inconnue des variables .r,, .r^, . . ., x,, et y*,, J2, ...,/rt des fonctions données de :;, x,, x-,-, ..., x„. Nous nous proposons de voir si l'on peut déterminer une fonction z des

variables ^(, x-^i c,i telle que sa diderentielle satisfasse à (1).

Cette équation (1) est é(|uivalente au système de n équations

(•2) -izr = /' (f = I, 2, ..., n).

Nous sommes ramenés à un système de n équations aux dérivées partielles. S'il existe une fonction z vérifiant (j), nous pouvons

exprimer une dérivée de cette fonction telle que ^ de deux ma-

nières différentes, en dérivant l'équation (2) de rang i par rapport à Xii et l'équation de rang k par rapport à Xi. En égalant les deux expressions obtenues, on a

^^^ dT,^ ozJ'- àxi^^J'-

En considérant tous les différents couples de nombres ^, /•, on a

M. — KQUATIONS Al X IHI TKUKNriKM.liS loTAI.IiS. I \ >

relations (|uc nous a[)j)cllcrons coiidilioiis (T inir i^rahili It'.

Deux cas sonl à (lislingiier :

i" Les (.'•(|iialions (3) ne sonl pas loules vérifiées i(lcnli(|iiiiiirMl,

c'esl-à-dire (jiielles que soient les valeurs données à a^i, Xj, r„, z.

Celles qui ne le sont pas constituent des équations de condition auxquelles doit satisfaire z. H y a lieu de voir s'il existe une fonction z satisfaisant à ces conditions et à la relation (i). Les fonctions z qu'on peut obtenir ainsi sont déterminées et ne contiennent pas de constantes arbitraires.

2" Les équations (^3) se réduisent à des identités, c'cst-à-diie sonl vérifiées, (|uels que soient .r,, x.., ..., x,,^ z. Nous allons montrer que, dans ce cas, on peut trou\er une fonction :; dépendant d'une constante arbitraire et vérifiant (i). Nous dirons alors que réf[ualion (i) ou le système (2) est complètement iiitégrahle.