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àA , 0/,.
- — aa< -r- . . . H • aa„ = o.
ocii (Ja,i
(5) doit en être une consécjiience, ce qui exige (|ue le picinier nienibre de (5) soit une combinaison linéaire des premiers memijies de ces équations. Uonc, il existe des coefficients À,, ..., À/, tels (lue
l Util Oa^ dciy (8) '
1 da,i dctn da,i
Nous ol)tiendroiis une solution de la manière suivante. Nous clioi-
sirons arbitrairement l'entier /,•, puis les fonctions /', , /'y,. Gela
étant, l'équation (i), les équations (2), les équations (G) et les équations (8) lorment un système de -2 n -\- k -h i relations qui déterminent les fonctions z, p, , ..., p,i^ f/, , ..., a„, À, , ..., A/;. En éliminant les a et les À entre ces équations, on a en z une intégrale qui dépend des fonctions arbitraires /',, ...,//,-.
Remarquons qu'on peut prendre A" =/t, ce »|ui revient à attrii)uer aux a des valeurs constantes; on retrouve comme intégrale l'intégrale complète dont on est |)arti.
365. Examinons en particulier le cas de deux variables indépendantes. Soit ré(juation
a, 6 étant deux paramètres arbitraires. Avec les notations habituelles, les équations (2 ) sont
0\ 0\ 0\ dV (a) r /> — =0, - -h <7 = O.
^ ' dx ^ dz ' dy ^ dz
|')S CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFERENTIELLES.
Soit
le résultat de réliminalion de a cl h entre (i) et (2). On dit que (i) définit pour ; une intégrale complète de (3). Dire que (3) est vérifiée revient à dire quil existe pour z^ a, b des fonctions de x^ y vérifiant (i) et (2). Ces fonctions satisfont à l'équation obtenue en difterentianl (i) :
— d-z^ dx -h — ay-^- —- da -{- -— do = o.
âz ôx oy -^ ôa Ou
En tenant compte de (2), cette éipialion se réduit à
(4) -da^-^dU = o.
On peut satisfaire à celle-ci en prenant
Enjoignant ces deux équations à (i) et en éliminant a et 6 entre les trois équations obtenues, on a une intégrale singulière de l'équation (3).
Si — et — r ne sont pas tous deux nuls, la relation (A) montre qu'il
oa do ^ ^ '■
existe une relation au moins entre a et b. Si l'on se donne deux relations entre a et 6, cela revient à prendre « et 6 constants. On retrouve, comme intégrale de (3), l'intégrale complète définie par V = o.
Si l'on se donne une relation seulement entre a et 6, soit
l'application de la méthode générale montre que, pour avoir une intégrale, on doit éliminer a el b entre les trois équations
V(2, X, y, a, b) = u, b — o( <2j, à\ aV , oa (Jb ' ^ '
L'intégrale qu'on obtient ainsi dépend de la relation arbitraire introduite entre a et b.
VII. — Kyl ATinNS AIX ItKlUVKKS l' VHTIKI.I.KS Df I'HKMIKH OnDIIi;. !'.<(
300. Eu résumé, la connaissance (riiiic iiil('i;r;ilo ff)in|tl(''ic (riiuc équalion aux dérivées parlielles peiinct d uhifnir le-, int(i;i;ilcs de cette é-quation. Nous sommes doue eondiiils i'i la reelier(die des intégrales eomplèles. Remar(|iions <jue la méthode des earacléristiqucs permet de trouver des intégrales complètes, en prenant la solution indiquée au n" 303, p. i55.
On peut dans certains cas, étant donnée une équation, en apercevoir directement une intégrale complète. Prenons, par exenq)le, l'équation de Clairaut généralisée, qui est
y étant une fonction donnée. I.,a fonction
z = «i^^i -1- a.>.r., -i-. . .-+- a„Xn^/[ai, «2, ■ • -, ««)
satisfait à cette équation; c'est une intégrale complète, car elle dépend de n paramèti-es «i, a^-, . . ., ««•
Considérons de même, dans le cas de deux variables x, y, l'équation
La fonction z = ax ~ vf^fi) + 6, où a et 6 sont deux constantes arbitraires, est une intégrale complète. On a, en effet, pour cette fonction, p = «, q ^f{^a) ^f(p).
307. Nous allons indiquer, en nous bornant au cas de deux variables indépendantes x, y, une méthode pour la recherche d'une intégrale complète.
Supposons d'abord l'équation donnée résolue par rapport à lune des dérivées partielles, soit
Supposons qu'on puisse trouver pour p une fonction 'l(x,y., z) dépendant dune constante arbitraire a et telle que l'équation aux différentielles totales
dz ^ 'l dx -^fix, y, z, '^ ) dy
soit conqjlèlement intégrable. En eilectuant cette intégration, on introduit une nouvelle constante arbitraire et l'on obtient une fonction .3 de .r, y renfermant deux constantes arbitraires et satisfaisant à (1) : c'est une intégrale complète de (1).
l6o CHAPITRI*: V. — liyLATIONS DIFFÉRENTIELLES.
Donnons un exemple de cas où Ion peut apercevoir directement la fonction -]> ; soit l'écjuation
Posons p = rt, il en résulte q ^f(a, y); ré(juation
dz = a dx -^ j\a^ y ) dy
est intégrable et donne
z = ax -\- I f{n, y) dy -^ b.
On a là une fonction dépendant de deux paramètres a, b et satisfaisant à Téquation donnée. C'est donc une intégrale complète de cette équation.
368. Pievenons maintenant au cas de l'équation générale (i) F(-ï^, JK, z, /j, q) = o,
et cherchons à applicpier la méthode précédente. Pour cela, nous chercherons à adjoindre à cette équation une équation de la forme
telle qu'en résolvant ces deux équations par rapport à /> et q, on trouve. pour/> et r/, deux fonctions de .r, j^, :; rendant complètement inlégrable léqualion
( 3 ) dz — p dx -r q dy.
Il faut et il suffit pour cela (n^' 350, p. 142) que l'on ait
ôp dp Oq Oq
^^' dy ôz^ dx <Jz'
Dérivons les équations (1) et (2), les variables indépendantes étant X, JK, ^, tandis cjue />, q sont les fonctions de ces variables définies par ces équations (i) et (2). Soient X, Y, Z, P, Q les dérivées de F par rapport à .r, j, :;, p, ^; X, , Y,, Z,, P, , Q, les dérivées de * par rapport à x, 7, c, />, q.
Nous avons, en dérivant (i) et (y) par rapport à c,
VII. — ÉQUATIONS AIX DKRIVKKS l'VUTIKI.MCS DT l'RKMIKU Oin>UK. 1 (il
d'uù
P,Z— l'Z,-^(P,Q-I'Ô,)^ =o; on ohlienl de mcuie
Q,Y-QY, + (PQ,-QI>,,^=o,
Oy
P,X-PX,^(P,Q-PQ,)^ =o.
Ox
On voit que la relation (4) se transforme en Q.V-QY,-:-g(Q,Z-QZ,)-^(PiX-P\,)+/?(P,Z-PZo = o
(en supposant PQ, — QP,^o).
En groupant les termes en X,, Y,, Z,, P,, Q,, cette équation s'écrit
P— -)-Q— --+-(Po-i-Q7j— — (\-^ pL) (Y-i-oZ) -=o.
dx ^ dy ^ ^ ^^ ' (Jz ^ '>P ^ ' ùq
Pour trouver une intégrale de cette équation linéaire, on est conduit, d'après la méthode générale, à considérer le système diflérentiel suivant :
dx dy dz dp dq
C'est précisément le système auquel on est conduit par la méthode des caractéristiques, mais on l'utilise différemment. On en connaît une intégrale première, savoir : F; on cherche à en obtenir une seconde intégrale première <I>, telle que le système
puisse être résolu par rapport à p et q^ soit
L'équation
dz = '^ dx -\- i/ 1 dy
peut être complètement intégrée et donne pour :; une fonction de x^ y renfermant deux constantes arbitraires et qui constitue pour l'équation donnée une intégrale complète.
