Traitons un exemple. Soit l'équation

pq—z=o.

Le système différentiel auxiliaire est le suivant :

dx dy dz dp dq q ~ p ~ ipq ~ p ~ q

En égalant le deuxième et le quatrième rapport, on a dy = dp. d'où p ^= y -\- a.

A cette intégrale pi-emière, résolue par rapport à />, joignons l'équation donnée, résolue par raj)port à q^ soit

Nous avons à intégrer l'équation différentielle totale

dz ~ {y -^ a\ dx -{ ~ — dy.

ce qui revient à intégrer le système

dx ' dy y -i- a

On déduit de la première équation, où l'on considère y comme un

paramètre,

La fonction o doit donc satisfaire à l'équation

?(7) J-^«' d'où

'i(y) = b(y -ha),

■b étant une nouvelle constante arbitraire. La fonction

■est une intégrale complète de léquation donnée. Pour avoir la solution générale, nous introduirons, entre a et ^, une relation arbitraire,

vil. — KyrAIIONS At'\ DKIUVKKS l'A 1111 Kl. LKS III l'UlCMIKII OHDUK. iGi

suit

et nous éliminerons a cL b entre les trois ('(jualions

z — {x -i- b){y ■■\- a) — o, 'if\a)(y -\- a) -^ X -\- b =^ o, b — <]^{ a),

ce qui revient à éliminer a entre l(;s deux é(jiiations

z — \x ^<]^(a)]{y ^ a) = o, J;'(a)( j H- a) -+• .r -H -Ma) — o.

370. Si Ton veut, pour la même équ.ition, employer la méthode des caractéristiques, il faut intégrer C(}inplèlemenl le système dilFérentiel précédent. On en déduit d abord

Mettons en évidence un système de valeurs initiales Xq, Kq, Sq, poi Ço' Ces trois équations s'écrivent

D'ailleurs, des trois derniers rapports, on déduit]

dz q dp -i- p dq

d'où

■^pq %pq

dz = q dp -r- p dq ,

d où, en intégrant,

{■i) z — z^ = pq~-p^qo.

En joignant cette relation aux trois autres, nous avons une solution du système différentiel auxiliaire, et les quatre «'quations obtenues peuvent être considérées comme définissant une courbe caractéristique pour l'équation donnée.

Gela étant, résolvons le problème de Cauchy, c'est-à-dire cherchons une intégrale qui se réduise, pour x = x^^ à la fonction z = '^{y). D'après la méthode générale (n"*3(32, 363, p. i55), il faut prendre pour Xo, J'o, -Soj Po: fjfo des fonctions d'un paramètre u vérifiant les équations suivantes :

Ce, ()x„ <Jy„

P» 70 —-0=0, — />u ÛTo -— = o.

Ou ' Ou ' Ou

lfi4 CHAPITRE V. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES.

Prenons j)'o comme paramètre u et ^o fixe; la seconde équation se réduit à

Or, on doit avoir

du

Zo= «?(jKo) = ?(«),

Nous prendrons donc Ço=cp'(M); /^o sera donné par la première équation, c'est-à-dire que l'on aura

q»~ o'(m) En résumé, on prend

:r, jj^, z, p, q sont donnés par les quatre équations (i), (2) en ionclion delun d'entre eux et de a"o, J'o, ^oi/'oï ^o? cest-à-dire de u.