VIII. — Équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur
371. 11 résulte de lélude des équations du premier ordre que la recherche de l'intégrale générale peut toujours se ramener à Tintégration d'un système d'équations diflerentielles ordinaires. Il n'en est plus de même pour les équations aux déri\ées partielles d'ordre supérieur ou égal à 2. Dans ce cas, c'est par exception que l'on peut résoudre le problème. Nous avons \u quelques exemples d'équations aux dérivées partielles particulièrement simples que nous avons pu intégrer soit directement, soit par un changement de Aariables (t. I, p. i3ô).
Le plus souvent, on doit renoncer à chercher la solution générale d'une équation donnée et se borner à résoudre certains problèmes particuliers. On adjoint par exemple à l'équation donnée certaines conditions et 1 on cherche une intégrale qui satisfasse à ces conditions.
Citons, dans cet ordre d'idées, le problème de Dirichlet : on se donne dans le plan une aire A ayant pour frontière une courbe (>, on se donne en outre sur C une succession de \aleurs formant une fonction continue, et l'on se pi-opose de trouver une fonction /' de deux variables réelles .r, y définie en tous les points de A, y compris le
Vlll. — ÉQUATIONS AUX. OKHIVIiKS l'AIlTIIvLLKS l/oKDIlK SUI'KIUKUK. l65
coalDiif, se réduisaiiL sur le cuiiLour ;"i la loaclloii doaaée eL sullslaisual ou loul point iulérieur à A à 1 é(|uuliou de La|)lace
ôx'-
or
372. iMouLroas par un exemple coniaieal un peul trouver une fonction assujettie à satislaire à une équation aux dérivée& partielles et à certaines conditions supplémentaires. On étudie, en Acoustique, la question suivante : on a un tuvau cylindrique rempli d'air, fermé à une extrémité et considéré comme indéfini dans un sens (/ï,^. 29); ou imagine que l'on imprime à la tranche d'air AB, au moyen de la paroi, un certain mouvement, et l'on cherche la xnodilication qui en résulte pour la colonne d'air contenue dans le tube.
Des considérations physiques conduisent au résultat suivant : soient MN une tranche d'air située à la distance j: de AB, a son déplacement à l'instant /, compté positivement dans le sens AM; u est fonction des
Fig. 29.
deux variables ^, x et satisfait à l'équation
a étant une certaine constante positive.
Les conditions initiales, qui constituent les relations supplémentaires auxquelles doit satisfaire la fonction u cherchée, sont les suivantes :
i" A l'instant origine ^ = 0, la paroi et la colonne dair sont au repos, c'est-à-dire que l'on a
du
Ot
pour ; = o, x^o.
1" On imprime à la paroi ou à la tranche initiale, au moyen d'un piston, un mouvement dont la loi est donnée, c'est-à-dire que l'on a
u = J'{t ) pour .r ^ o, f ^ o,
l66 CHAPITRE V. — ÉQLATIONS Dl FFKKKNTIEI.I.ES.
f{t) étant une fonction donnée satisfaisant aux conditions
Cela posé, il résulte de l'équation aux dérivées partielles (i) que u est de la forme {cf. t. I, p. i3(5)
(4) u = '^{x ^ at)-^ 0\{x — at).
Nous allons déterminer les fonctions es el i, au moyen des conditions initiales (2) et (3). On a
(5) — =a^'{x-{-at) — ao\{x — at).
Pour / = o, les équations (4) et (5) donnent
H = cpfa-j-f- cp,(a-), — = d'^ (x)— aci, (x),
d'où, en tenant compte des conditions (2),
La première relation donne, par dérivation,
<f'(x)-+- cç'i (x) = o,
d'où, en comparant a\ec la seconde,
On déduit de là, en désignant par c une certaine constante, les valeurs de es et '^1 pour des valeurs positives de l'argument :
(6) o{x):=c, çpi(a") = — c (x^o). Pour X = o, on a, d'après (4),
a = œ (af ) -+- 'fi( — at), d'où, en tenant compte de la condition (3),
et, en tenant compte de la première équation (6), 'f,( — at) =/(t) — o(at) = fit) — c.
Nous pouvons en déduire la valeur de la fonction o, quand l'argu-
VlII. — ÉQUATIONS AIX IlKni VKICS PAUTIKIIKS n'onDIlK STI'Kfirr.r R . i(>7
ment est négatif. I*osons — ai = z, il \iciil
Nous sommes à présent en mesure de résoudre le prohième. I^a solution est la suivante :
Considérons la tranche MN d'abscisse t. IJislinj^uons deux cas : 1 " On a
t S. - ou X — at>o.
Les aryumenls de 'j et de z>, sont tous deux positifs. On a
tp = c, Çl = — c.
d'où
La tranche MN est en repos.
2" On a
/ > - ou X — fl/ < o.
On a toujours '^ = c: mais, l'argument de o, étant négatif, on a
Oi{x-at) = f{ — ^--!li) — cr=/l t--^\ — c,
u = c+/[t-^)-c=flt
d'où
On voit que, si l'on considère une tranche déterminée d'abscisse x^
tant que ^ < - . cette trancdie reste immobile: quand f > — » son dépla- ^ ~ a ^ a ^
cernent est^f^ ^1- Cela correspond à ce fait physique que le
déplacement imprimé à la tranche initiale se transmet intégralement aux tranches suivantes avec une vitesse égale à a.
