I. — ENVELOPPES DES COURBES ET SURFACES

linn. si les coordonnées sonl rectangulaires,

(X-.-r;/'(0 — (V — r)cp'(/) + {7. — z)'y(t) = o ou

(X— cr)dT-{-(\ —y)dy-{-(Z — z)dz = o.

Considérons niainlenanl une surface ayant pour éfjuation

et une courbe tracée sur cette surface. Les coordonnées .r, j', z d'un

point de cette courbe varient en satisfaisant toujours à l'équation de

la surface. Leurs diderentielles, si elles existent, sont donc liées par la

relation

/i dx ^fy dy ^fLdz = o.

Cela montre que la tangente à la courbe en un point est toujours située dans le plan d'équation

(X-.r)/i-i- (Y -7)/;+ (Z - z)fL^o.

C'est \e plan tangent à la surface en ce point.

Dans le cas où /j, y^'., /^ sont nuls, on a, en général, un point singulier.

La normale à la surface en un point est (en coordonnées rectangulaires) la droite d'équations

Jx J y Jz

Dans le cas particulier où l'équation de la surface est résolue par rapport à l'une des variables, soit

l'équation du plan tangent prend la forme

(X— a:)o:^+(Y— j')cp;.— (Z— z) = o.

Si l'on considère une courbe ])lane d'équation fi^x., y^ = o, la tangente au point x.y a pour écjuation

(X-x)f!, + (\-y)fy=o. ■

Ces différents points étant rappelés, nous allons étudier la théorie des enveloppes.