Enveloppe d'une courbe plane. — Considérons une famille

lyo CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

de courbes planes dépendant d'un paramètre a, ayant pour équation

Prenons deux courbes de celte famille correspondant aux valeurs a el a -\- Ad du paramètre :

I /(x, y, a -f- Art) = o.

Elles peuvent avoir des points communs dont les coordonnées satisfont alors aux équations (2) et, par suite, à l'équation

,0^ /(x, y,a-\- Art) —/(jr, r, a) ^

qui est une combinaison des équations (2).

D'après la formule des accroissements finis, cette équation (3) s'écrit

-T-(oc, V, a -+- 0 A«) = o,

h étant variable avec x^ y, a, mais toujours compris entre o et i ; et, d'après la théorie des fonctions implicites, si Aa varie d'une manière continue, les coordonnées x, y d'un point commun aux deux courbes varieront d'une manière continue, ceci sous certaines conditions précisées dans la théorie des fonctions implicites. Quand A« tend vers o, les points communs tendent vers les points communs aux deux courbes

(4) ôf^

ceux-ci sont dits points limites pour la courbe (i). Quand a varie, ils ont un lieu géométrique dont l'équation s'obtient en éliminant a entre les équations (4). Ce lieu s'appelle Venveloppe de la famille de courbes donnée.

Soient

son équation, et (57^, Yo) un de ses points.

Les équations (4), où l'on remplace x^ y par o-o, Vo, ont au moins une racine commune en a, soit «o- H J ^ povir x et y des fonctions continues de a satisfaisant à (4) et se réduisant à Xq^ y^ quand a se réduit à «q. Si l'on suppose que Ton remplace x, y par ces fonc-