I. — ENVEKOl'PKS DKS TOIRBES KT SIRFACES. 17I

lions dans (i), le premier membre sera i(ienli(|ucment nul, ;iiii.>i (|iic toutes ses dérivées, c'est-à-dire que l'on aura

()f dr ùf dy <)f

d.r (ta (.)}■ au Oa

ce qui donne, d'après (4),

df dx . df dy dx da dy da

Si, pour le point considéré, -r- el -r- ne sont pas tous deux nuls, ' ' ^ âx dy ^

celte équation montre que la tangente au lieu décrit par x, y, de

coefficients -j-f -r-> est idcnliciue à la tangente à la courhc (i) qui da da ' " i

passe par ce point. Le fait n'a plus lieu si (x^^ jKo) est un point singulier pour la courbe (i) de paramètre «o-

375. Cherchons directement si, étant donnée la famille de courbes (i), il existe une courbe tangente à toutes les courbes de cette famille, le point de contact variant dune manière continue avec a.

Soient X, y les coordonnées de ce point de contact inconnu. La

ï ^ . dx dy

tangente au lieu de ce point a pour coefficients -t-> -7- et, comme

elle doit coïncider avec la tangente à la courbe (i) en ce point, on doit avoir

dx da Oy da

De plus, .r, jKj fonctions de c/, vérifient l'équation ( i) ; on en déduit

en dérivant

df dx df dy of dx da dy da da

En comparant ces deux équalions, on trouve

ôa

de sorte que, si le problème est possible, tout point du lieu satisfait à l'équalion R(,r,y)^o obtenue en éliminant a entre les éi|uations (4).

376. Remarquons que, s'il y a un point singulier dans chaque courbe de la famille (1), le lieu de ce point fait partie de l'enveloppe.

l-]1 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

En effet, ses coordonnées satisfont aux équations

f àf àf

•^ dx ày

et par suite aussi à l'équation

da Prenons comme exemple la courbe ayant pour équation f{x, y,a)=y*—y^--^{x — af = o, a étant un paramètre variable. On a

L'élimination de a donne l'équation

y-{y'^ — I ) = O) qui se décompose en

Or, la courbe mobile est une courbe se déplaçant parallèlement à l'axe des x et ayant pour point double le point .r = «, j" = o.

L'axe des j? est donc un lieu de points singuliers, de sorte que l'enveloppe proprement dite se compose simplement des droites j)^ = ± i .

377. Supposons maintenant que les courbes variables aient pour

équation

a et b étant deux paramètres liés par la relation

Considérons b comme une fonction de a définie par cette relation et déri\ons par rapport à a la première équation. 11 vient

of àf db oa ôb da

D'ailleurs, de la relation entre a et b on déduit

do d':. db da ob da

ENViM.oppics ni:s coihhks f.t surfaces.

On ix'iit I lier (le là la \aU'ur de -r-- Un norlanl celle valeur dans la l'clalioii |nécédente, celle-ci se mel sous la lorine

El

ûa

à/ db

ob

On doit, pour avoir l'équation de l'enveloppe, éliminer a el b enlie cette relation et les équations

378. Remarques. — i" Etant donnée une famille de courbes dépendant d'un paramètre, si celui-ci entre linéairement dans l'équation des courbes, il n y a pas d'enveloppe. En eilet, l'équation de ces courbes est de la forme

Deux quelconques de ces courbes se coupent en des points fixes, communs à toutes les courbes de la famille; le lieu des points limites se réduit à ces points eux-mêmes.

2"* Si le paramètre entre algébriquement dans l'équation des courbes, c'est-à-dire si celle-ci est de la forme

/oa'«-^/ia'«-i

fni = o,

pour trouver l'enveloppe, on reconnaît que l'on est ramené à éliminer a entre les dérivées de cette équation par rapport à a et par rapport à

une variable d'homogénéité b obtenue en remplaçant a par -.- et multipliant ensuite les deux membres de 1 équation par b'"-.

379. Enveloppe dhitie surface dépendant d'un paramètre. — Soit une surface dépendant d un paramètre a et ayant pour équation

Deux surfaces de cette famille correspondant aux valeurs a et a -\- la du paramètre ont en commun une courbe qui varie quand Xa tend vers o. On peut prendre pour é(jualions de cette courbe

l-/\ CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

(^uand Art tend vers o, cette courbe tend vers une courbe limite qui a pour équations

(i) /(ar, j, c, a) = o,

C'est la courbe caractéristique de la surface considérée, et son lieu, quand a varie, est dit Venveloppe de cette surface. En éliminant a entre les équations (i) et ( 2), on a son équation:

Rl'.r. y, :;) = o.

Si un point (.r, y, z)se déplace en restant sur l'enveloppe, à chaque svstème de valeurs de ic, y, :; on peut associer une valeur de a telle que le système x^y^ 5, a satisfasse aux équations (1) et (2), par suite à l'équation obtenue en difîerentiant (i), c'est-à-dire à