I. — ENVKLOIM'KS DKS COUHRES ET StHFACES. IjS

d'où, par coiunaraison de ces deux relations,

ôa

La smiace cliercliée, si elle existe, ne peut donc être (jur l'cnveloj)pf (les surfaces (i).

Les résullals du n" 377 s'appli([nenl au cas des surfaces dépendant de deux paramètres liés par une relation.

381 . Enveloppe d'une surface dépendant de deux paramètres. — Soit

l'équation d'une surface dépendant de deux paramètres indépendants a, b. Considérons deux surfaces de cette famille correspondant, l'une à a, b, l'autre aux valeurs a -+- Art, /> -+- A6 des paramètres; la seconde a pour équation

(2) fi^^y^ -1 <^ -•- ^'^i /> -H a6) r= o.

Ces deux surfaces se coupent suivant une certaine courbe; si Art et A/> tendent vers o d'une manière quelconque, parmi les points de cette courbe, il y en a qui tendent vers des positions limites bien déterminées qui sont les points d'intersection des tiois surfaces

àf ,

(3) \ da^ ' -^^ ' '

àf , -^{x,y,z,a,b) = o.

Ces points s'appellent les points limites, et leur lieu, lorsque a et b varient, est encore dit Venveloppe des surfaces (i).

Un point limite {x^ y, z) a des coordonnées variant d'une façon continue avec a, b; l'équation (i), qui est identiquement vérifiée par ce système de valeurs de ^, JK, ^, donne par différentiation

(4) -^dx-\- -^-dy-^ ^dz^ 4-(ia^ 4ûdb = 0, ôx ày ùz oa ûb

d'où résulte, en tenant compte de (3), la relation