dx -\ — '— dy -t- -~- dz = o

dx Oy -^ dz

176 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS (iÉOMÉTKIQUËS.

qui montre que le plan tangent à l'enseloppe au point (x, r, s) est le même que le plan tangent en ce point à la surface variable.

382. Réciproquement, étant donnée la famille de surfaces (i), cherchons s'il existe une surface tangente à toutes les surfaces de cette famille. Si cela est, les coordonnées x, y^ z d'un point de contact seront des fonctions de a, b telles que l'on aura

-^ dx -V- '- dv -\- — dz = o.

dx Oj -^ dz

Or, de (i) on déduit encore par difïérentiation la relation (4j. Il en résulte, par comparaison avec la relation précédente,

-r- da-\- -,- du — o.

da Où

Ceci, devant avoir lieu quels que soient a et b, exige

oa do

La surface cherchée, si elle existe, coïncide donc avec l'enveloppe.

Nous nous sommes placés dans le cas général; il peut arriver que les points limites soient lixes, ou encore que le lieu des points limites soit une courbe.

383. Enveloppes des courbes gauches. — Considérons une courbe gauche C définie comme intersection de deux surfaces dépendant d'un paramètre a

Cherchons s'il existe une courbe F tangente à toutes les courbes C, le point de contact variant d'une manière continue avec a.

Les coordonnées x, r, z du point de contact d'une telle courbe, si elle existe, seront fonctions continues de a, satisferont aux équations (1) et par suite à

, df , ôf df df

\ -r- dx H — a y h — — dz -^ -^— da = o,

1 dx Oy -^ dz da

' c^ca d-:. do do

—^ dx H dy -+- — dz -t- — ^ aa = o.

dx dy dz da