II. — Courbure et torsion des courbes gauches

!^SS. Plan oscuLateur. — Considérons une courbe gauche ayant pour équations

Considérons la tani;enle MT au poinl \I(j7, i', z) de paramrire t :

J'\l ) ~ o'{t) ~ 'h'it) '

Soit M' un point voisin de M, correspondant à la valeur t -\- It du paramètre. Menons par M la parallèle MO à la tangente en M' ; iécjuation du plan défini par MT, iM9 est

fit) o'(j) 'Vif)

f'(f-{-M) o'(t^lt) <\i'(t-r-\t)

X — x Y— jK Z — z

fit) oit) ^yu)

f'(f—'^\t) — f'it) 'j'(f-i- AQ — o'fn <\''{t^^t) — '\>'(tï

Si It tend verso, les éléments de la dernière ligne de ce déterminant tendent vers

fit) o"(t) y'(0,

de sorte que le plan TMB varie en tendant vers une position limite déterminée qui a pour équation

fit) cp'(o y(n /"(/) o"(j) Y(n

Ce plan est dit le ///f/zi osciilntnn- à la coiirhe en M. Son équation s'écrit

( ') Ces déiiomiiialioiis seront jusliliécs i)lus loin {voir Seclioii \).

l8o CHAPITIŒ VI.

JNous poserons

APPLICATIONS GKOMETRIQIES.

Le plan est déterminé tant que A, B, C ne sont pas nuls tous les trois.

Ce plan dépend du paramètre <, il a donc une en\elopj)e. Je dis que la caractéristique du plan oscillateur à une courbe en un point est la tanuente à cette courbe. En elVet, pour définir cette caractéristique, nous devons adjoindre à ré<(uation (i) l'équation dérivée par rapport à /, qui est. toutes réductions laites,

c'est une droite passant par M. De plus, si Ton remplace dans ses équations X — .3",\ — ^?^ — ^ P*'' ^'t y'' ^' M"' ^^^^^ ^^^ coefficients de la tangente, elles sont vérifiées. C'est donc la tangente en M,

On \oit que le lieu des lanj^cntes à une courl)e g;auche G est une surface enveloppe d'un certain |)lan à un paramètre, par conséquent, d'a[)rès le n" l^<S7, une surface c/ri'elo/>pable.

Toute droite menée |)ar M dans le plan normal est une normale à la courbe. On appelle normale principale la normale située dans le plan osculateur; on ajipelle binormale la normale perpendiculaire au plan osculateur,

389. Considérons une courbe raf)portée à trois axes rectani^ulaires Ox, 1% c. D'après la définition de la longueur d'un arc de couibe (t. I, p. i4^^'; t)ïi '*j 6" étant l'arc compté positivement dans le sens des t croissants,

Considérons en M (Jig. 3o) le plan normal à la courbe. Il di\isc au voisinage de M la courbe en deux parties, situées de part et d autre