II. — COI iim m; irr Tonstox m:s coi nni:s f;Ai:cl!i;s. \^t
par raiiiioit à lui, cl la laiii;ciiLc eu di'ux ilciiii-droilcs. ( .iiu-^kI/tous la (Iciui-laiii^ciilc (lui csl du uu^ine colc par rapport au plan iiDiiual (pic l'arc de courbe parLaiil de M dans le sens des ù croissants. Nous dirons tpie c'est la deini-langente dirigée dans le sens positif on la demi-tangente positive. Soient a, (3, y ses cosinus directeurs, on a
Supposons par exem|)le .r'^o. cela veut dire que x croît avec t. Si nous menons par M le plan parallèle au plan yO z, la deini-tanfj;enle dirigée dans le sens des t croissants est donc par rapport à ce plan du même côté que la partie positive de l'axe Ox\ l'angle de cette demitangente avec O.r est donc aigu, par suite a est positif. Gela montre que devant le dernier rapport il faut prendre le signe +, de sorte
que l'on a
ou
dx a y ^.y z' dz
~ -' ds ' ^ s' ds^ ' s' ds
390. Courbure. — Soient M un point de la courbe, M' un point voisin, oj l'angle des tangentes à la courbe en M et M', la détermination cboisie pour cet angle étant celle qui tend vers o quand M' tend vers M, son évaluation étant faite en parties de la circonférence
de ravon i. Considérons le rapport ^rrr,: nous allons montrer que,
quand M' tend vers M, ce rapport tend vers une limite déterminée qu'on appelle la courbure en M. L'inverse est dit le rayon de courbure en M.
Par l'origine des coordonnées, menons (Jig. 3o) un segment Oit de longueur i parallèle à la demi-tangente positive en M; cela revient à considérer le point a de coordonnées a, ^3, r. Lorsque M décrit la courbe donnée G, [x décrit sur la spbère de rajon i et de centre O une certaine courbe qu'on appelle [indicatrice sphérique. Soit t la longueur de l'arc de courbe décrit par le point pi à partir d'une origine quelconque, compté positivement dans le sens où jjl décrit l'indicatrice lorscjue s croît. Soit |j.' le point de l'indicatrice correspondant à M', on a
O) = iiOii'=^ arc (le j^rand cercle ijljjl'.
Or, cet arc de granfJ cei'cle ijlu.' est un infiniment petit écjuivalent à
l82 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.
la corde pia' et par suite à l'arc d'indicatrice [j.[j.'. Nous sommes donc ramenés à étudier la limite du rapport
arcjjLiji' Ad \t
arc MM' \s \s
Quand li tend vers o, ce rapport a une limite qui est
—ou -y,
Sf as
de sorte que la couilnire en M est -^, le ravon de courbure -y- Cal- * as ^ (h
culons ces qiianlitcs en fonction des éléments qui définissent la
courbe.
On a
De a = — on déduit s
a d'où
ou, en développant le second membre,
,., s'-^(x"^ ~ y"- — -s"-) -t- 5'^(.r'2-^ k'- — z'-) — -is' s"(x' x" ^ y y" -^ z' z" )
Dérivons la relation
on obtient
s' s" = x' x" -^- y' y" -Jr- z'z",
de sorte que nous pouvons écrire après simplification
,, (' a^'ï -4- J''2 -f- z'2 j (a-"2^y2| ^"2) ( ^' or" -{- y y" -L. -'z"y-
ou, d'après l'identité de Lagrange,
En posant, comme précédemment,
