II. __ cornnt'iiE et torsion di;s coluuks (iAiciiics. i

nous aurons

\2 + Bî -H C2

d'où l'expression du rayon de courbure (quantité essentiellement positive) :

391. Revenons à Tindicalric-e sphérique. Le plan [J-0|x' a pour position limite, quand 'j.' tend vers '.x, le plan mené par O parallèlement au plan osculateur en M, de sorte que la tangente en <j. à lindicatrice sphérique est en même temps perpendiculaire à 0|j. et parallèle au plan osculateur en M. Elle est donc parallèle à la normale principale en M. Choisissons sur elle et par suite sur la normale principale, comme direction positive, celle de la demi-tangente à l'indicatrice sphérique dirigée dans le sens des arcs 7 croissants.

Remarquons que si l'on change le sens de parcours sur la courbe donnée, ce qui a pour effet de changer le sens de la direction positive de la tangente, chaque point ;j. est remplacé par son symétrique par rapport à O ; l'indicatrice est remplacée par la courbe symétrique par rapport à O. Comme on change aussi le sens de parcours sur cette courbe, on voit que la direction positive sur la normale principale reste la même. Donc, sur la normale principale, la direction positii'e est indépendante du sens de parcours choisi sur la courbe donnée et, par suite, de la représentation paramétrlf/ue.

Soient a,, |j,, v, les cosinus des angles que tait cette direction avec les axes Oxyz. En appliquant à l'indicatrice sphérique les formules générales t-= — , ■ • -, nous a\ons ^ s

d-jL „ B' d'à Y d-(

-j-i Pi — -S- = -7- ' Ti = ~ = TT ■

d'où, en remplaçant c/t par -g-» •

di. ai f/3 â| d'[ Yi

SF^R"' 57 "^ R"' 57 "^ r"

Ces formules constituent le premier groupe de formules de Frenet.

Cherchons à évaluer a,, ^3|, -'1 en fonctions de .r, y.^ z et de leurs

i84 ciurn KK vi. — applications géométriques.

dérivées. On a. en remplaçant a' et n' par leurs valeurs,

v/A2-i- B2-T-G2 ' y/A2-HB2-i-C2

392. Enveloppe du plan normal à la courbe. — Soit P le plan normal à la rourhe au point M : il a j)our équation

Quand M décrit la courbe, ce pian a une enveloppe. Sa caractéristique est définie par léquation (^i j jointe à l'équation dérivée

(■X) a'(X — X) -\- p'{\' — ^)-+- y'(Z — 3) — (aa7'-4- 3j'-i- '( z' ) = o.

Or, de a :^ -7 1 • • • on déduit

aa~'-i- 3 K'-f- v;;' = —^^ — ' =s'.

L'équation (2) s'écrit donc

a'(X — .r) -t- ,S'( Y —y) -t- y'fZ — z)

c'est-à-dire, comme — = 7-. • • •, s K

(Q) aii(X — x)-i-f^i( \ —y) ~-^;i(Z — z)— R = 0.

Le plan Q, que représente cette équation, est, comme on voit, perpendiculaire à la normale princijjale. Soient X, Y, Z les coordonnées du point où il la coupe. Posons

X = a; -r- ai p, \ = y -h ^ip, Z = z -h y, p.

En portant ces valeurs dans Péquationde Q, on trouve

Le plan Q est donc le plan perpendiculaire à la normale principale mené par le point C situé, sur la partie positive de cette droite, à la distance R du point M (Ji'g'. 3i).

La caractéristique D du plan normal, qui est l'intersection des plans P et Q, est donc la droite menée par C perpendiculairement au plan osculateur . D est dite la droite polaire et C le centre de courbure.

Le lieu de D est la surface polaire.

M. — roiUuniK KT TORSION DKS COURFIFS fiAiniKS.

On jtcul (mIciiIci- les coortlimnt'cs do (l: rn rxiiis sfrvanl de X 1= :r -H a, r>. il \ icnl

A2-I- ir^-^c-'

Ou reconnaît, en avant éyani aux \aleurs de s'- et .s'."?" (n" 390), que ces coordonnées s'expri/nenl ralionncllement en fonction des dérÏK'ées premières et secondes de x^y^ z.

393. Etudions la position de la courl)e par rapport aux éléments qui ont été définis. Transportons l'origine au point M ; prenons pour axe des X la demi-tangente positive en M, pour axe des V la normale principale {fig. 3i). x, j', :; s'expriment en fonctions linéaires

Fie. 3i.

de X, Y. Z, x' ^ y\ z' en fonctions linéaires de X', Y', Z', et x'\ j", z en fonctions linéaires de X", Y", Z". On doit avoir, dans le nouveau système,

doù

fX';M>o, (Yj.M=(Z';.M=o, A = ( Y Z"— Z'Y" jm = o.

Pour que le plan XMY soit le |.lan osculaleur. il faut de j)lus que 1 on ait

ce qui entraîne, daprès les conditions précédentes,

(Z")M=0, (\")y\ydo.

Dans ces conditions, un a, la normale principale étant .M\ ,

l86 CHVPITRK VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

ai =: V, = o, d'où

D'ailleurs on a (n° 391), comme A et B sont nuls,

^ \"s'— Y's" YV

■"" iGi ~rci'

5' étant positif, Ti, a le signe de Y". Si l'on prend pour axe MY la normale principale dirigée dans le sens positif, on doit donc avoir (Y")m>o.

Cela étant, étudions la pcjsition de la courbe par rapport au plan ZMX, mené par la tangente perpendiculairement au plan osculateur. Au point M, on a Y=: Y'=: o, Y">> o; donc Y a constamment le signe + au \oisinage de M. J)onc la courbe, au voisinage de M, est, par rapport au plan ZMX, tout entière du côté du centre de courbure.

Examinons maintenant sa position par rapport au plan osculateur XMY. (Z'jj, et(Z")j| sont nuls; Z" est dillerent de o en M en général. Donc, au point M, Z change de signe en s'annulant; cela montre qu'en général le plan osculaleur traverse la courbe.

Imaginons un observateur dirigé suivant la droite polaire D et regardant le {)oint M. Il voit la courbe au voisinage de M aller de gauche à droite en montant, ou de droite à gauche en montant, le fait étant indépendant de la direction de l'observateur sur cette droite polaire. Il v a ainsi pour une courlie deux dispositions didérentes qui sont dites dispositions dextrorsuni et sinistrorsum.

394'. Torsion. — De même que nous avons étudié l'angle de deux tangentes infiniment voisines, nous allons étudier l'angle de deux plans osculateurs infiniment voisins, ou, ce qui revient au même, l'angle de deux binormales infiniment voisines.

Choisissons comme sens positif sur la binormale la direction telle que le trièdre formé par les directions positives de la tangente, de la normale principale et de la binormale soit direct, c'est-à-dire de même sens que le trièdre des coordonnées. On sait que dans ces conditions, si l'on appelle aj, ^So, y^ les cosinus directeurs de la direction positive sur la binormale, on a

II. — f:(ti iiiti »!■: i;t iohskin i»i:s coriutics (;au(:hi;s. 187

et

v' i z" s' — c'.v") — zUy's' — v' s" ) \

(le nirme. on a

P^.= 7rr.

Quand M parcourt la courbe donnée, le point v de coordonnées 7.2, 3o. l'.j décrit une certaine courbe sur la sphère de centre O et de ravcin i. On reconnaît, comme précédemment (n" 390), que l'éb'meiil de 1 arc de celte courbe est un infiniment petit équivalent à 1 aui^le de deux plans osculateurs infiniment voisins.

De plus, la tangente an lien décrit par v est parallèle à lu normale principale en M. Il suffit, pour le montrer, de prouver que cette direction, dont les paramètres directeurs sont proportionnels à </3Co, rf^o, û^Yo, est perpendiculaire à la fois à la tangente MT et à la binormale en M, c'est-à-dire que l'on a

S a d'il ^ o, X «2 dx^ -— o.

La seconde relation est une conséquence immédiate de

Pour démontrer la première, partons de la relation Saa^=o; nous en déduisons par difterentiation

S a d'j.-2 -i- il ^2 c/a ;= o.

Remplaçons, dans Sao f/a, r/a par -V—' il vient

„ , ds ^

>: ao aa = -— S a, 7.0 = o, K

d'où

1 a r/ao =: o.

Cela étant, nous prendrons comme sens positif de parcours sur la courbe décrite par v le sens correspondant à la direction positive de la normale principale, t étant l'arc de cette courbe compté à partir d'une origine quelconque, on a, d'après cette définition,

a'., di^ f/3, r/-'o

I»8 CHAPirilK VI. ~ APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

On appelle torson al gébriquc le rapport algébrique -^ on — >

et rayon de torsion T linverse de cette quantilé.

Cherchons à évaluer T en fonction de x^ y. z et de leurs dérivées. Tout revient à calculer-:'. Ecrivons

^1 .2 i2 . ii —.-«.1^0 ^ I

^1 .Si 7i ^î— i^i^ïi De la relation lia, aj ^= o on di-diiit

d où

et. en remplaçant aj, fj.^, -'., par leurs valeurs.

et par suite

Pour avoir x\, écrivons

d'où

Calculons a". On a

, I îti = a — ,

les termes qui suivent le premier contenant en facteur soit x' ., soit.r". Rappelons que nous avons

X A ar' = (j , SA x" = o,

et, par suite,

X Aa = G, Z Aa' = G.

On peut donc écrire

par suite