II. — (;()l mil lU: KT TOII^ION DIS cm UltKS UVLCIIES

D'ailleurs lA.z" esl éi;al au dclci luinaul

et 1 on a finalement

- Bî

On \(>it (jue T est un nombre aLgébviqne qui a le si<^ne opposi' à celui (le A.

Portons rorij,Miie au point M considéré et prenons pour axes les axes MX, MY, MZ définis précédemment. Nous avons vu (n" 393^ que 1 on avait pour r()rij;ine

d où résulte, pour la valeur de A en ce point,

D'ailleurs X' et Y" sont positifs, T a donc le signe contraire à celui de Z'". Si T << o, on a Z'''>> o. Z" croit au voisinai^e de .M, donc il est d abord négatif, puis positif. Z' est constamment positif, donc Z est d abord négatif, puis positif.

Dans le cas de T > o, les conclusions sont renversées.

On \ oit que la position dexLrorsuin ou sinistrorsum dépend du si s ne de T.

393. Formules de Frenet. — Les formules de Frenet donnent les dérivées des neuf cosinus directeurs du trièdre MXYZ attaché à chaque point de la courbe. Nous avons déjà obtenu les formules suivantes :

dm a, fFp 3| d-^ v,

d^i ai '/io yi d(.i Yi

"^^t' "^""t' IT^T"

le second groupe résultant de la définition de T (n" 394). La relation

a- -f- a? H- xi; = I .

dilTérentiée, donne

c esl-à-dire

ds

di.

ds ' ds

di.\

igO CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GEOMETRIQUES.

d'où nous lirons

177 ~~ ÏÏ "~ T' Nous aurons de même

lîi ~ R T' T?7~~ÏÏ~T' C'est le troisième groupe de formules de Frenet.

I^9(). Courbes planes. — Considérons le cas particulier des courbes planes; tous les résultats généraux que nous avons démontrés s'appliquent. Il suffit de faire, par exein|)le, Z = o dans les formules obtenues; il en résulte A = o, B = o; C conserve la même valeur j^y — y' x" . L'expression du rayon de courbure devient

Étant donnée une courbe plane, si Ton cherche l'enveloppe de la normale à cette courbe, le point de contact de cette normale avec son en\eloj)pe est le centre de courbure, car (n" 392), deux plans normaux quelconques se coupant suivant une perpendiculaire au plan de la couri)e. la droite polaire est ici la perpendiculaire au plan de la courbe menée par le centre de courbure.

Pour une courbe plane, la torsion est nulle en tout point.

397. Cas singuliers. — Etant donnée une courbe définie par les coordonnées x., y., z d'un de ses points en fonction d'un paramètre /, la tangente en un point est déterminée tant que les dérivées x' , y\ z' ne sont pas toutes trois nulles pour ce point. Si l'on a j;'^^ j/'=z 3'= o, les équations de la tangente se présentent sous fox-me indéterminée. Cependant, il se peut qu'il y ait en ce point une tangente déterminée. 11 faudra, dans chaque cas, faire une étude particulière de la courbe en ce point.

De même, si A, B, C ne sont pas tous trois nuls en un point, le plan osculateur est déterminé. Si l'on a A = B = C = o, il faut faire une étude particulière, en revenant à la définition du plan osculateur, pour voir s'il y a ou non un plan osculateur déterminé. De plus, en un tel point, le rayon de courbure R est infini. Si Ion prend x comme variable indépendante, on a .r'= 1. x" =. o, d'où

m. — CONTACT iii;s col nni;s kt simikacics. Mjr

Pour qu'on ail A= B = C ^= o, ii laul y"=iz"=o. Cela indicjuc c|ue les j)iojeclions de la rourhe sur le plan des xv ou des xz présonteiil au poiiiL lonsulcrc une iiillcxioii.

l'^n tout point d'une droite, le rajon (Je courbure R est infini.

Cherchons si 1 on peut a\oir en un point d'une courbe 1\ = o. En supposant que les dérivées premières et secondes restent finies, 11 faut que Ton ait x' ^=y' = :^' =^ o. Mais alors R se présente sous iorine indéterminée, il y a lieu à discussion. Prenons, par exeiujjle, la courl)C plane définie par les équations

on constile que R, pour ^ ^ o, est de l'ordre de grandeur de ^, donc s annule avec /. L'origine est pour cette courbe un point de rebroussement à rayon de courbure nul.

Cherchons si en un point d'une courbe T peut être infini, c'està-dire si la torsion peut être nulle. En général, il y a un nombre fini de j)oinls de la courbe jouissant de cette propriété : ce sont les points j)Our lesquels on a A = o. On les appelle points stationnaires. Avec les axes particuliers MXYZ déjà choisis, nous avons vu que l'on a A = X'Y"Z'", de sorte que A ^ o entraîne Z'"= o. En un tel point, si l ou supjjose en outre Z^^^^o, le plan osculateur ne traverse pas la courbe, car on reconnaît que Z garde un signe constant au voisinage de M.

398. Lne courbe dont la torsion est nulle en tout point est une

courbe plane. — En effet, les formules -r^ = -^, ••• montrent que

as \ ^

pour une telle courbe ao, |j2. Y^ sont constants. Le plan osculateur a donc une direction fixe et les tangentes à la courbe, qui restent parallèles à celte direction de plan, sont, par suite, perpendiculaires à une direction de droite fixe. En prenant l'axe des Z parallèle à cette dernière direction, on aura, en tout point, y = o, d'où Z'= o, Z = const. La courbe est donc dans un plan.