III. — Contact des courbes et surfaces

399. Considérons deux courbes C et C| tangentes en un point A. Choisissons des axes de coordonnées tels que la tangente commune en A ne soit pas parallèle au plan des t; ^ fig- 02).

Dans ces conditions, pour chaque courbe, x, au voisinage de A,

igi CHAPITRK VI. — APPLICATIONS GKOMKTRIQUES.

varie dans un sens déterminé. On peut donc, pour clxaque courbe, prendre x comme variable indépendante, cest-à-dire supposer les

Fie. 32.

deux courbes définies par des équations de la forme

1 z = -fCr), ( -z = <i>(x).

Soit Xn l'absfMSse de \. Pour (|ue les deux (tourbes soient tauyentes en ce point, il faut et il sufHl (jue Ton ait

Supposons dune manière générale que l'on ait avec ces relations (1)

if'i^o) =P"(Xo), <f"(^o) =*"(.ro),

et que Ton nail pas simultanément

/''+>'(aro)= F!"+"(.ro), o(''+"(.ro) = «i>(''+i'(:fu).

Coupons les deux courbes C, C| par un plan parallèle au plan des yz et d'abscisse J7 = .r„-i-A. On obtient ainsi sur C un point \i{X, y, z), sur C, un point M,(x, y,, z,); étudions les dill'érences ri — y-, ^i — -■■ On a

Ji—r = F(xo^h) -/Cro-H A.).

Les fonctions F et / sont développables par la formule de Tajlor arrêtée au n + i'^""' terme; en les remplaçant par leurs développements, on a