III. — CONTACT i)i:s conuiKs i:t svhiacks. iy

cl de mrmc

Par liypollièse, (|ii;m(l // lend vers o, les diflerencos entre crochets ne tendent pas toutes deux vers o. I^'une au moins des deux qu;inlités j-, — y^ '-K — '• f^l donc infiniment petite d'ordre n 4- i seulenienl par rii|)|)()rl à //, l'autre pouvant être d'ordre supérieur ou égal à n -\- \ . La distance jMM, est par suite, de toute façon, infiniment petite d'ordre n -\- i pai- rajjport à h. D'ailleurs, la distance AM est un infiniment petit de l'ordre de h, de sorte que MM, est, par rapport à AM, un infiniment petit d'ordre n -\- \ .

Je dis que ce résultat est indi'pendant des a^es de coordonnées choisis, jiourvu que la tangente eu \ reste non parallèle au plan r^. En effet, ellecluons un changement de coordonnées en passant du système X, ) , z à un autre système X, V, Z, On sait que y'^^ z'^. sont fonctions des nou\ elles dérivées Y^, Z^, que i'^.,, s',,, sont fonctions de Yx, Zj. Yx", Zxî, etc., de sorte que, si pour les deux courbes C et C) les dérivées de y et 5 par rapport à x sont identiques jusqu'à l'ordre /?, il en est de même des dérivées de Y, Z par rap|)ort à X ; en d'autres termes, les relations (i) se transforment en des relations de même forme. I^a propriété géom('lriqiie à laquelle on |)ar\ienl, à savoir : que la distance MM| est un infiniment jietit d'ordre n -\- i par rapport à la dislance AM, est donc indépendante du choix des axes de coordonnées; cela revient à dire que l'on peut, pour obtenir les points M et M,, couper les deux courbes C et C| par un plan V parallèle à une direction de plan arbitraire mais fixe. Lorsque le plan P variera en se rapprochant du |)oint A, la distance MlM, sera un infiniment |)etit d'ordre n + i par rapport à la dislance AM.

Par d('finition, on dit (|u';7 y a au point A un contact d'ordre n entre les deux courbes.

400. JNous allons chercher à exprimer les conditions d'un conlacl d'ordre n onlrc (\ç\\ii courbes dont l'une C est définie |)ar les ('(|Uiitions

et dont l'autre C| csl définie en fonction d'un paramètre t.

Soit Mo( oCo, J'n? ^0 > un point commun aux deux courbes, la tangente à chacune d'elles en ce point n'étant pas parallèle au pi. m des j)'5. Soient M(j7, ^-, z) un point de C, M, (.r, ^',, ^, ) un point 15. - II. i3

ig4 CHAPITRE VI. — APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.

de C,, M el M, étant tous deux, voisins de M» et correspondant à la même abscisse. Posons y, —y= u, s, — z = v. Il faut, pour qu'il j ait un contact d'ordre n, que a et ç soient infiniment petits d'ordre n + I par rapport à x — .To- Remplaçons, dans les fondions F et <I>, X, y, z par les coordonnées x, y,, Zi du point M, exprimées en fonction de l. On a

+ r -7- ( a:, V 4- 0 » , c 4- 0 (> ) . dz ^

Comme F(j7, j', ;?) = o, on peut écrire (i) Fia-, jr,,3i) = -Va-f- Bc,

A et B avant pour limites, quand le point M varie et tend vers le

. , , , dV d¥

point commun (Xq, l'o, -o)< 1*^^ nombres - — > - —

De même, on a

<l>(j;, ji, ;,) = Gif -h De,

G et D avant pour limites, dans les mêmes conditions, tes nombres Le déterminant

de ces quantités est différent de o, du fait que la tanj^ente en A à C est supposée non parallèle au plan des jk^. On peut donc résoudre, au voisinage de Mo, les équations (i) et (2) par rapport à m, r, et obtenir pour a, i> des expressions linéaires en ¥(x^ yt, Zf), $(.r,y, z^ ). Pour que u et i> soient tous deux infinimeut petits d'ordre n H- i par rapport à x — Xq, il faut et il suffit que F(.r,r,,s,) et $(.r, y,,^i) le soieut, ou, ce qui revient au même, que F(.r, jKu^i) et C>(.r, y,, 5,) soieut infiniment petits d'ordre n -{- \ en t — to, t^ étant la valeur du paramètre pour le point My. On peut donc énoncer la règle pratique suivante :

On remplace, dans F et <ï>, x, jk, z par leurs valeurs en fonction de t^ et l'on exprime que les fonctions de t ainsi obtenues, G( /)

m. — CDNTACT I»KS COI BBKS KT SURFACES. Ig5

et Gi(/)î 50''^ toutes dcu.r infiniment petites d ordre /? + i por rapport à t — /„.

On \()il que dans ce résultai il ne reste pas trace de Thypotlièse faite sur la direction de la tangente, de sorte que la règle est \alable sans cette restriction.

Pour exprimer que G(f) et G|(^) sont des infiniment [)clits d'ordre n -\- i par rapport à ^ — ^,,7 il suffit d'exprimer que chacune de ces fonctions s'annule, ainsi que ses n premières dérivées, pour f = /fl ; on a ainsi ?. n -H 2 conditions.

401. Cas des courbes planes. — Tous ces résidtats s'appliquent en particulier au cas des courbes planes. Pour exprimer par exemple qu'il V a un contact d'ordre n entre une courbe C avant pour équation

et une courbe C| définie en fonction d'un paramètre /, on devra écrire que F(.r, y)., où l'on remplace .r, y par les fonctions de / qui définissent C|, est un infiniment petit d'ordre n H- i par ra[)port à t — ^0- On aura ici /7 + i conditions.

402. Courbes osculalrices. — Considérons une courbe déterminée C et un point A de cette courbe. Soit, d'autre part, une famille de courbes dépendant d'un certain nombre de paramètres. On peut chercher à disposer de ces paramètres de façon à obtenir une courbe de la famille ayant en A, avec la courbe C, un contact d'un certain ordre.

On appelle courbe osculatrice en un point A de C une courbe de la famille considérée ayant en A avec G un contact d'ordre maximum par rapport aux autres courbes de la famille.

403. Considérons par exemple la famille formée de toutes les droites de l'espace. Une droite dépend de quatre paramètres. Un contact d'ordre n exigeant in-\-2 conditions, nous pouvons donc avoir /? = 1 .

Prenons les équations de la droite sous la forme

X — a z — p ^ o, y — bz — q=o,

et remplaçons dans ces équations ^, y, z par les fonctions de t qui définissent la courbe donnée. Les équations obtenues doivent être

igô CHAPITKE VI. — APPLICATIONS CiKO.MKTUIOUES.

vérifiées, ainsi que celles qu'on obllenl en les dérivanl par rapport

à /, savoir :

x' — a-'==o, y — bz'=o.

On déduit de là

Cela montre que a, 6, 1 sont les coefficients de la tangente à !a courbe au point considéré. D'ailleurs, les deux premières relations, qui déterminent p et ^, montrent que la droite passe par ce point. C'est donc la tangente en ce point, de sorte que, parmi les droites de l'espace, celle qui a le contact maximum avec une courbe quelconque en un point donné est la tangente à la courbe en ce j)oint.

■404. Un cercle dans l'espace est une courbe dépendant de six paramètres. On peut en disposer de façon à obtenir un cercle qui ait, en un point donné, avec une courbe donnée, un contact du second ordre. Ecrivons les équations d'un cercle sous la forme

en mettant ainsi en évidence son centre (a, 6, c), son rayon 0 et les <oefficienls A, B, C de son plan.

Une courbe étant donnée par les coordonnées d'un de ses points en fonction d'un paramètre t, remplaçons x, y, z par ces fonctions <le t dans les équations (i) et (2), puis annulons les dérivées premières et secondes des premiers membres de (1) et (2). On a les quatre nouvelles équations

(3) kcr' ^ By -i- Cz' = o,

Ces quatre équations, jointes aux deux premières, permettent de déterminer a, ^, c, 0, A, B, C. Les équations (3) et (4) montrent que A, B, C sont les coefficients du plan osculateur à la courbe au point considéré, de sorte que le plan du cercle chercbé est le plan <isculateur à la courbe.

Dans les équations (5) et (6), considérons a, />, c comme les coordonnées coux-antes. (5) représente alors le plan normal à la

m. — CONTACT i»i;s cniHnKs i/r si ni\(:i:s. i()7

courhe an point considt'ré, cl ré(|ii;ilion ( ()) csl colle (jiroii (thiiciit en dérivant (5) par rapport à /. r/cnscnihlc de ces deux cf|ii;ilious représente donc la caractérisli(pie du phiu norniid (ju;in(l le point (.r,y, z) varie snr la conrbe donnée, c'est-à-dire la droite polaire.

De pins, l'équation (i) exprime c|ue (a, 0, c) est dans le plan osenlalenr. Le point (rz, b, c) est donc à l'intersection de la droite polaire avec le plan, oscnlatcnr, c'est-à-dire au centre fie courhure.

Enfin, Téqnation (2) montre qne 0, le rayon dn cercle, est éfjal à la tlistance du point [x, y, z) de la conrbe an centre de conrbnre (a, b, c).

En résumé, le cercle osculateur est le cercle qui a pour centre le centre de courbure et pour layon le rayon de courbure. On l'appelle aussi cercle de courbure, parce qu'il a au point (j:, y^ 5) même courbure qne la courbe donnée.

40o. Contact d' une courbe et d' une surface. — Etant données une conrbe C et une surface S tangentes en un point A, on dit qu'il y a en A, pour C et S, un contact d'ordre /i, s'il existe sur S une courbe F passant par A et ayant avec C en ce point un contact d'ordre n. Soit

l'équation de S. F sera définie par Tintersection de S avec une certaine surface. Une première condition est donc que F, si l'on y remplace ^, y, z par les fonctions de t qui définissent la courbe C. soit infiniment petit d'ordre ti -\~ 1 par rapport à t — ^o- ^0 étant le paramètre correspondant au point A.

Je dis que cette condition est suffisante. En efl'et, supposons-la remplie et prenons des ax.es tels que la tangente à C en A ne soit pas parallèle an plan des j':;: {fig. 33). Nous savons que, dans ces conditions, nous pouvons prendre, pour définir la conrbe G, x comme variable indépendante. Soit

l'équation du cylindre projetant C parallèlement à O :; snr le jdan des xy. Nous allons montrer que la courbe T, intersection de S avec ce cylindre, a avec C un contact d'ordre n en A. En effet, F a pour équations

Quand on remplace dans les premiers membres de ces deux équa-

198 CIIAIMTUI': VI. — APPLICATIONS GKO.MKTRIQIIES.

lions X, j', z par les fonctions de t cjiii définissenl la courbe C, la fonction j' — f{^) 6Sl identiquement nulle, donc satisfait à toutes

Fig. 33.

les conditions imposées; par hypothèse, la fonction F satisfait aussi à ces conditions. Donc F a, avec C en A, un contact d'ordre n.

iOG. D'après cela, étant donnée une courhe G, si l'on considère une famille de surfaces dépendant de n + i j)aramètres, on peut disposer de ces paramètres de manière à obtenir en un point M, entre la courbe et une surface, un contact d'ordre n. Pai'mi les surfaces d'une famille, on aj>pelle surface oscidatrice à une courljc donnée en M celle qui a en ce point, avec la courbe, le contact d'ordre maximum.

Cherchons, par exemple, le plan qui a le contact d'ordre maximum avec une courbe définie en Ibnclion d'un paramètre. Comme un plan dépend de 3 paramètres;, cet ordre sera égal à 'j.. Soit

A.Î-+- B^-i-Cz + D = 0

l'équation du j)lan. Remplaçons dans cette équation jr, j-, z par les fonctions de t qui définissent la courbe. Nous devrons avoir, outre l'équation précédente,

\x' -^ By-H 0-'= o, Ax"-+- By'+ Cz"=o.

On trouve ainsi pour A, B, C les coefficients du plan que nous avons appelé plan oscidaieui- dans l'étude des courbes gauches.