IV. - l)l':\ IvI.OPI'KKS KT DKVHLOPPANTKS. Ujf

Si la cuurbc C esl une ilroilo, la normale reste [larallèle à une direction fi^e; elle n'a pas d'enveloppe.

Si C est lin ('erclc, la noriiiaic passe |)as un point (ixc; on peut duc <pr('llc a pour en\eloppe ce poiiil.

Rc''(iproquonienl. si pour une coiirlie la normale a une direction fiïe, la taiigcnle a aussi une direelion fixe; ses coefficients a, [j sont constants. Si Ton |)iend des axes tels que ^ = o, on en déduit y =z const. ; donc la courbe est une droite.

Si la normale passe par nn point fixe, prenons ce jjoint pour origine et écrivons {"('(piation de la normale

(X — x)dx-^ ( Y — J-) dy = o.

Puisqu'elle passe par l'origine, c'est (pie l'on a

•c dx -h y dy = o, d où, en intégrant,

x^-{- y'^ = const.,

ce qui montre que la courbe est un cercle ayant pour centre l'origine. Ces deux cas mis à part, la normale varie en direction sans passer par un point fixe; il existe sur cette droite un point limite qui est le centre de courbure (n° 396). Lorsque le pied de la normale prend toutes les positions sur la courbe C, ce point décrit une courbe qui est la développée de C.

408. Dans le cas d'une courbe plane, les formules de Frenet deviennent, en conser\ant les notations précédentes,

ds ~

d^ ds

f/a, ds ~

ds ~

Soit C5 l'angle de la demi-tangente dirigée dans le sens positif avec Ox\

■on a

a = coscp, ^ = siii'J.

Le centre de courbure (.r,, j', ) a pour coordonnées <i) a", = ar-t-aiR, jKi=7-+-piR.

On a, en difl'érentianl les formules (i),

dx^ = dx -+- ai ^R -r- R doLy,

200 CllAITiai; VI. — applications GKOMETRIQI'ES.

c'est-à-dire

dxx = ids -{- 'Xi dR — a (/s = aj dR,

de même

dvi = 'iidR.

Soit .9, l'arc de la développée compté à pailir d'une ceilaine origine;

on a

ds] = dx\ -r- dy'l = clR"^.

Il en résulte que si, pour un certain arc de la courbe donnée, le rayon de courbure varie toujours dans le même sens, la valeur absolue de l'accroissement de S\ est égale à l'accroissement de R, de sorte (]ue la longueur de C arc de développée correspondant est éi;ale à la quantité dont a augmenté ou diminué le rayon de courbure.

11 résulte aussi de là que si, pour une courbe, R est constant, ds^ est nul, :r,, j^, sont constants, le centre de courbure est fixe; c'est le cas du cercle. Le cercle est donc la seule courbe plane à rayon de courbure constant.

Les formules (7j7, = a, c/R, ... montrent encore que, si pour \i\\c courbe plane quelconque R passe |)ar un luaxiinum, on a, pour le point [Xi,ys) correspondanl.

dx^ = f/Ki = o.

Gela indique en général, comme l'on sait, que ( x,, y,) est pour la développée un point de rebroussement. C'est, en eflfet, ce que l'on trouve en construisant la développée d'une ellipse, d'une hyperbole ou dune parabole.

409. Développantes. — Considérons une courbe et sa développée ; la première est dite la développante de la seconde.

Etant ^donnée une courbe, cherchons si elle a une développante, c est-à-dire une courbe qui admette comme normales les tangentes à