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Nous établirons plus loin (n° 35) l'existence effective de tous ces
groupes.
38. Les substitutions linéaires et fractionnaires d'une variable peuvent être mises sous forme de substitutions linéaires entières et homogènes de deux variables.
Soit la substitution
aa-t-Q
<" 3 = 77Tt
il vient
d'où. A désignant un facteur quelconque,
Donc, à toute substitution (1) non homogène correspondent une infinité de substitutions (2) homogènes. Mais, si nous nous bornons aux substitutions homogènes unitaires, c'est-à-dire à celles dont le déterminant des coefficients est égal à un, à chaque substitution (1) correspondront deux systèmes de substitutions (2).
En effet, le coefficient A sera déterminé par
A3(aS-PY) = d'où pour À les deux valeurs
tm± '
t/aS-fr
38 PREMIERE PAIITIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
Dans le cas particulier où la substitution (i) est unitaire, les deux valeurs de \ sont -f- 1 et — i .
Soit un groupe G de substitutions non homogènes; les substitutions homogènes qui leur correspondent forment évidemment un groupe G'. G' est hémiédriquement isomorphe à G, et, si G est d;ordre fini, G' est d'un ordre double. De plus, à l'identité dans G correspondent dans G' les deux substitutions
Pseudosubstitutions linéaires.
39. Nous appellerons pseudosubstitution linéaire (') l'opération par laquelle on passe d'une valeur quelconque de ; à une autre,
(0 z'=^= C (afi-Py^o),
fS -4-0
z représentant le nombre complexe conjugué de z.
La quantité aS — [3y est dite le déterminant de la pseudosubstitution.
Il n'existe aucune pseudosubstitution pouvant se réduire à l'opération identique.
En effet, pour que (i) laisse invariable les valeurs o, i, oo, il faut qu'on ait successivement (3 == o, y = o, a= o; (i) se réduit alors à
Mais ce n'est pas là une opération identique : il existe en effet une infinité de valeurs qu'elle ne laisse pas invariables, car elle change chaque valeur conplexe en sa conjuguée.
L'inverse d'une pseudosubstitution est une pseudosubstitution.
(') Pour les pseudosubstitutions, nous sous-entendrons souvent le mot linéaire comme nous le faisons pour les substitutions.
PSKUDOSUBSTITUTIONS LINÉAIRES. 3q
En effet, résolvons (1) par rapport à z
prenons les conjugués des deux membres et échangeons ensuite z'
et t; il vient
Le produit de deux pseudosubstitulions est une substitution.
Soient
, xz ■+- S
ys + 8
On
tire
de
la
première
jî
Transportant cette valeur de z' dans la seconde :
Le produit d'une pseudosubstitution et d'une substitution, ou bien d'une substitution et d'une pseudosubstitution, est une pseudosubstitution.
Eu effet, le produit de
j al-t-ft „ a\z'-t- 3'
est la pseudosubstitution
(Va -4- |i'y)i + a'P+ S' 8 ( 7' a H- 3' y ) z -+- y' 8 -+- 8' 8
De même, on a, pour le produit de
as -h 3 . aV-i- 3'
4o PREMIÈRE PARTIE- — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.
la pseudosubstitution
Toute pseudosubstitution est le produit de la pseudosubstitution z' — — z et d 'une substitution.
On vérifie en effet immédiatement que (i) est le produit de
z' = — z et de la substitution ( ° )•
La pseudosubstitution 2' = — s, qui échange entre eux les points symétriques par rapport à l'axe imaginaire, peut être désigné, sous le nom de réflexion sur cet axe.
