Si l'on regarde une pseudosubstitution O
comme une transformation en lui-même du plan de la variable complexe, on peut se demander s'il existe des points du plan que cette transformation laisse invariables.
Tout d'abord, il est évident que, si un point n'est pas déplacé par la pseudosubstitution Q, il ne le sera pas non plus par la substitution Q2. Donc, sauf le cas où Q2 se réduirait à la substitution identique, Q laissera invariables deux points tout au plus.
Considérons d'abord le cas de Q2= 1 ; Q est alors une opération du deuxième ordre, et l'on a (n" 39)
aa -F 3y a3 -+- 80 \ ya -+- 8 y 7P -4- 88 /
€t,- à cause de l'hypothèse Q2 = 1 ,
( aa -+- 3y == yjS -+- 88 ,
<a) \ afi -+- 88 = o.
\ ya -4- oy = °-
Si {5 = y = o, la première des relations (2) donne
en sorte que Q devient
z'= e^z ou encore
en posant
Si (3 et y ne sont pas nuls en même temps, soit y ^é o. Alors on peut supposer qu'on ait multiplié les quatre coefficients de Q par une quantité telle que y devienne réel. Dans ces conditions, les relations (:>.) deviendront
ata -4- jîv = yp -+- 88, a(3 -t- (38 = o, y(ix-+- 8) — o;.
la dernière donne
a -4- 8 = o, c'est-à-dire
d'où
et alors la première devient
y(P-?) = o, <l où
Ouant à la seconde, elle est alors identiquement satisfaite. Si l'on observe que la condition 8 = — a subsiste aussi pour 3 = v = o, on peut en conclure que :
La for/ne générale des pseudosubstitutions du second ordre est
Y 2 — Ot
tifaft* laquelle [i et y so«£ réels.
Pour trouver les points que (3) laisse invariables il suffit de poser dans (3) z'= z, d'où
< i i "fzz -az-a3--B=o,
équation d'un cercle (') de centre et de rayon
y/gg -+- fty /—A P- Y
où A, qui est toujours réel, désigne le déterminant de la pseudosubstitution.
Ce cercle est réel ou imaginaire suivant que A>o. Pour v = o, il se réduit à une droite. Donc :
La pseudosubstitution du second ordre (3) ne laisse invariable aucun point du plan, ou bien laisse invariables tous les points d'un cercle, selon que son déterminant est positif ou négatif.
Le cercle (4) est appelé cercle de symétrie de la pseudosubstitution.
41 . Cherchons quelle position occupent, par rapport à ce cercle, deux points homologues z et z' ; soit d'abord y = o, le cercle de symétrie se réduit à la droite
%Z -+- OLZ -h ^ = O,
et, si Ç est un point de cette droite, on a
(i) 7.1 -+- aÇ ■+- p = o.
La pseudosubstitution s'écrit, dans le cas actuel,
d'où, quel que soit Ç,
— % ( *' — Ç) = as + (i -f- a £
(') En effet, si dans (4) on pose
z = x -+- iy, a = a, + i'a2, nous aurons
y ( x- -4- j'2 ) — a a, a? — 2 a„ jk — ,3 = » ou bien
/ a, \- / a2\2 «1 4-aî + Br
PSEUDOSUUSTITI'TIONS LINEAIRES. 43
( I. en particulier, si £ apparlienl à la droite de symétrie, en tenant compte de (i),
d'où
|<-SJta*jï-t|-ï*-ç|.
La droite de symétrie est, par conséquent, le lieu des points équidistants de z' et de s, c'est-à-dire que les points z, z' sont symétriques par rapport à la droite de symétrie.
Soit maintenant v -^é o. Puisque
Y z — a on a, quel que soit Ç,
Or l'équation du cercle de symétrie, cercle de centre -, peut s'écrire
a I Ls = const.,
I Tl
t't, si s désigne un de ses points, on aura
j Y? — «} = const.;
d'où
Y s — a ou
En égalant les modules des deux membres et tenant compte de la relation |yÇ — a| = const., on voit que le rapport :-^ r- > ou
bien ; — J' > est indépendant de Ç, pourvu que £ appartienne au
cercle de symétrie; d'où il résulte que les points z et z' sont conjugués par rapport au cercle de symétrie.
Observons que ce résultat comprend comme cas particulier le résultat trouvé poury=o. On peut donc énoncer la conclusion
générale suivante : Deux points correspondants dans une pseudosubstitution du second ordre sont conjugués par rapport au cercle de symétrie de la pseudosubstitution.
Au lieu de dire de deux points qu'ils sont conjugués, nous dirons quelquefois qu'ils sont symétriques; et nous désignerons une pseudosubstitution du second ordre sous le nom de réflexion par rapport à son cercle de symétrie.
Projetons stéréographiquement le plan sur une sphère. Le cercle de symétrie de la réflexion, soit T, aura pour projection sur la sphère un cercle F,. Soient z et z' deux points correspondants dans la réflexion considérée; puisque z et z' sont conjugués par rapport à T, tout cercle passant par ces deux points est orthogonal à T, et, comme la projection stéréographique conserve les angles, les projections zt, z\ de z, z1 sur la sphère posséderont la même propriété relativement au cercle T,.
Si en particulier T, est un grand cercle, les points zK et z\ seront symétriques par rapport à T,, au sens ordinaire du mot. Donc, supposons qu'on projette stéréographiquement une réflexion sur une sphère, de façon que le cercle de 'symétrie ait pour projection un grand cercle. Si nous considérons deux points du plan se correspondant dans la réflexion, leurs projections sur la sphère sont deux points symétriques (au sens ordinaire du mot) par rapport à ce grand cercle.
