Considérons maintenant une pseudosubstitution Q

Y* 4- S qui ne soit pas du second ordre. Posons

2 / a* + PT aP -*- P§ \ / A B C D

ya -+- oy y(3 -+- Sô

La quantité

A -+- D = aâ -h Py ■+■ ïP ■+■ fà

«st évidemment réelle. Donc (n° 24) :

Le carré d'une pseudosubstitution ri est jamais une substitution loxodromique.

Suivant que la substitution Q2 est elliptique, hyperbolique ou parabolique, on dit que la pseudosubstitulion Q est elliptique, hyperbolique ou parabolique.

13. Comme on l'a déjà observé, les. seuls points qu'une pseudosubstitution Q puisse laisser invariables sont les pôles delà substitution Q2. Examinons dans quels cas il en est effectivement ainsi.

Désignons par/? et q les deux pôles de Q2, distincts ou non; pna(n°23)

■n supposant, ce qui est toujours permis,

xo — Py = 1 .

aô-^Y = I< \D — BC = (a3 — îJy)(»8— Fï) = ••

Si le point/? n'est pas déplacé par Q, on doit avoir

Y/»-t-« (m bien

Y/y ■+- 8p — ap — p = o

qui peut encore s'écrire, en multipliant par y et tenant compte de (2),

(3) (YJP -a)(Y^ + 8)= — 1.

Pour reconnaître dans quelles conditions cette relation peut avoir lieu, il convient d'établir certaines identités. On a tout d'abord

A — D = A - D = xx — 00.

De plus, on trouve facilement

Y A — aC = yî) — oïl - : — y-

Cela posé, écrivons (i) sous la forme

où R est nul, réel et différent de zéro ou imaginaire pur, suivant que la substitution Q est parabolique, hyperbolique ou elliptique.

Soit donc

alors

Dans cette formule, où figure un double signe, on doit prendre le signe H- si Q est hyperbolique, le signe — si Q est elliptique (si Q est parabolique, R == R — o, le signe est alors indifférent). Il suit de là

• "ÎP — a=^j(ïA — TfD — *»C-4-yR),

7J»-+-3 = -L(y — fD + 2oC±yR).

En tenant compte de (4) et (5),

Y/> — a = -^ [y A h- y (A— D — Â) — saC + yR]

*^U<yA-«c)-y(â+d) + tr]

Y^-+-o = -L[y(A + D — D) — vD + 2oC±yR] 2C

»~t-a(YÔ-8C)-f-Y(A-»-D)i1fR]

= -W2Y + Y(A+D)±yR]- Cette dernière relation peut s'écrire

Y/> + o = -L[-^y H- Y(A + D)-t-TR - 2ïRL

PSEUDOSUBST1TLTIONS LINÉAIRES. 47

£ étant égal à o ou à y, suivant que Q est hyperbolique ouelliptique. Il en résulte

(v a)(Y]; + 8)=-l^|[2Y + Y(À+D)]*-ï*R«-*T|, ^ CC

en désignant par T la quantité

— aR[— -27 — y(A + D)-^YR].

En développant et se rappelant que R = ( A -+- D)a — 4, on a

<7P - *) (yp -h 8) =- -^[4? ■+■ 4ty( a -+- D)h-4V-«t] 4 (jC