CCL' " ,J 4GC

D'autre part,

GG = (7a -+- 87 ) ( 7a -+- 07)

= xa77 -+- 72 a8 -+- 72 ao -t- 7788

= Y»-t- t"2 -+-77C A -4-D); d'où

En comparant cette relation avec la relation (3). on voit que e = o. On arrive donc à la conclusion suivante : Si Q est parabolique ou hyperbolique, il existe un ou deux points quelle laisse invariables : c'est le pôle ou bien les pôles de Q- ; si Q est elliptique, il n'en existe aucun.

On peut ajouter que, si Q est elliptique, elle échange entre eux les deux pôles de Q2.

Soient, en effet, p l'un de ces pôles et s ce qu'il devient par la substitution Q. Puisque p reste inaltéré par Q-, c'est que Q doit changer s en p. Donc les deux points p, s sont échangés entre eux par Q. Mais alors Q- laisse évidemment s invariable et, par suite, s est le second pôle de Q2.

44. Étant donnée une substitution non loxodromique, si on la transforme par une réflexion relativement à une de ses tra-

jectoires, la substitution transformée est égaie à la substitution primitive.

Revenons au plan z des not 27 et 30. Une substitution P elliptique ou hyperbolique prend la forme

Z'= oz.

Dans le premier cas |G| = i ; dans le second cas 8 est une quantité réelle et positive.

Une réflexion R par rapport au cercle ayant pour rayon /• et l'origine pour centre est de la forme

Z Pour former le produit RPR, on doit éliminer 7J et Z" entre

z'=^, z"=ez', zfl'==-.

En tenant compte de |9| = i , on obtient

z'" = ez,

d'où

RPR = P.

Une réflexion R par rapport à un rayon d'argument a issu de l'origine a la forme

Z' = eJ'*Z.

Pour former le produit RPR, on doit éliminer Z' et Z" entre

Z'=e2'*Z, Z"=0Z', Z"'=e2;az", et, en tenant compte de ce que 6 est réel et positif, on obtient

Z"'=0Z, en sorte que

RPR = P.

Dans le cas d'une substitution parabolique

on peut toujours supposer que r\ est réel. Les trajectoires sont des

PSKLDOSUBSTITUTIONS UXK.YIHES. 4g

droites parallèles à l'axe réel, et la réflexion R par rapport à l'une d'elles, située à une distanee h de cet axe, est

Z' = -iih -+- Z.

Eliminant 7J el Z" entre

Z' = ■>. Ut -+- Z, Z" = tj -4- Z'. Z" = a »A -H Z",

on obtient

en sorte que, là encore, on a

RPR = P.

'ù\. Soit un groupe de substitutions G permutable (n° 12) mec une réflexion R et soit P un élément quelconque de G; les opérations P, PR (o« bien P, RP) constituent un groupe G rftJ groupe déduit de G par amplification.

Si G est d'un ordre fini, G est d'un ordre double.

Soient P,, P2 deux substitutions quelconques de G. Posons

RpjR^P',, RP2R = P'2;

par hypothèse P, , P., appartiennent aussi à G. Considérons les quatre produits

PiP2, P,R.P2, Pt.P2R, P,R.P2R.

Le premier est évidemment un élément de G. Le second, qui peut s'écrire P, P2R ou bien P, P'2.R, est de la forme PR. Il en est de même pour le troisième. Ouant au quatrième on peut l'écrire

Pi.RP2.R ou P,P'2R2 ou enfin

en sorte qu'il appartient à G.

I /existence du groupe G est donc établie.

46. Soit un groupe de substitutions G {fini ou infini) dont chacun des éléments peut être mis sous forme de produit de facteurs appartenant à un ensemble fini de substitutions P,. v. I

5o PREMIÈRE PARTIE. — GROUPES POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

P2, ..., P,.. Supposons qu'une réflexion R transforme chacune des substitutions précédentes en une substitution de G, alors le groupe G peut être amplifié par la réflexion R.

Posons, en général,

RP,R = p;. (» = i,a, ..„r)<

où «, , /2j ia, • • . sont des nombres, distincts ou non, appartenant à la suite i, 2, 3, ...,;•, est une substitution quelconque de G, on trouve facilement

rp«< p*;- P£ . . . r = p;.a< p;a* p;«3

ce qui démontre le théorème :