Si P est la substitution à pôle unique

et Q la pseudosubstitution

où l'on suppose aS — Py = i, l'expression de la substitution Q'PQ = P'es*

ri et r' ayant pour valeurs

r'ss— Ç, n =t)(y/- + o) .

Eliminant z1 et z" entre

p'+ô s—/' z r yZ'.

on obtient

ou bien, en utilisant les réductions du n" 32 ,

ou, prenant enfin les conjugués des deux membres,

Groupes finis de rotations d'une sphère sur elle-même et leur amplification.

49. Nous venons d'établir les propriétés des substitutions et pseudosubstitutions linéaires. Passons maintenant à l'étude des groupes de substitutions, particulièrement des groupes finis, et des groupes de substitutions amplifiés.

Le seul groupe infini que nous rencontrerons est le groupe modulaire, dont nous donnerons plus loin une définition arithmétique directe.

Quant aux groupes finis de substitutions, nous en obtiendrons très facilement la construction, grâce à un artifice géométrique utilisé déjà précédemment (n° 28).

Rappelons que les groupes finis ne comprennent que des substitutions elliptiques (nu 33).

Soit donc une substitution elliptique, dont les pôles p et q soient représentés par les points P et Q. Considérons la famille des cercles T admettant P et Q pour points conjugués. La substitution considérée laisse invariable chaque cercle T. Elle change un point Z d'un tel cercle en un autre point Z' du même cercle, tel que la différence des angles QZ'P et QZP reste constante (n°29).

Considérons le plan passant par P et Q et perpendiculaire au