GROUPES FINIS DE ROTATIONS D'UNE SPHÈRE

plan s; soient V un point de ce plan, tel que le plan P-VQ soit droit, et G le pied de la perpendiculaire abaissée de V sur le plan z. Projetons stéréographiquement le plan z sur la sphère décrite de C comme centre avec CV pour rayon, en prenant V pour point de vue, et soit M, la projection stéréographique d'un point quelconque M du plan z (').

Le point C étant situé sur PQ, le plan VPQ passe par le centre de la sphère, les points P,, Q, se trouvent sur un grand cercle passant par V (contour apparent de la sphère), et, comme l'angle PVQ est droit, VK Q, est un diamètre de la sphère. Soient A et B les points de rencontre de la droite PO avec l'un des cercles T. Les quatre points P, Q, A, B forment une division harmonique, le faisceau V(PQAB) est harmonique et les deux droites rectangulaires VP, VQ sont les bissectrices des angles formés par VA et VB. Donc P, est le milieu de l'arc A, B, , la droite A, B, est perpendiculaire à la droite P|Qj, et la projection stéréographique du cercle AB est un cercle A, B, situé dans un plan perpendiculaire au diamètre P, Q,.

Pour la substitution considérée

(') Dans la figure on a tracé en traits pleins les lignes du plan z.

un point Z du cercle AB se transforme en un autre point 7J du même cercle, tel que les arcs de cercle PZQ, PZ'Q fassent entre eux l'angle a. Les arcs PZQ, PZ'Q se projettent sur la sphère suivant les demi-grands cercles P, Z, Q, , P, Z\ Q, dont les plans font le même angle a, puisque la projection stéréographique conserve les angles.

Donc, à la substitution linéaire considérée correspond sur la sphère une rotation d'amplitude a autour du diamètre P4Qj. On peut dire que les points P,, Q, sont les pôles de la rotation.

Pour déterminer le sens de cette rotation, examinons le cas particulier où p = o, g = oo. Alors, la substitution prend la forme

plus simple

z =%z = eia-z

et représente une rotation du plan, sur lui-même, d'un angle a autour de l'origine, effectuée dans le sens qui va de l'axe des x positifs vers l'axe des y positifs, c'est-à-dire de gauche à droite. Il lui correspond une rotation d'angle a, de la sphère sur ellemême, de gauche à droite autour de l'axe VW. Mais puisque, dans le cas spécial considéré, P( coïncide avec W etQ, avec V, on peut dire qu'on a une rotation de la sphère d'angle a effectuée de droite à gauche autour de l'axe P, Q, (').

Si donc on considère comme positives les rotations effectuées de droite à gauche, on peut dire qu'à la substitution (i) correspond une rotation de la sphère d'angle a autour de l'axe P, Q, .

Il importe de faire la remarque suivante : tandis que la transformation du plan z en lui-même par la substitution (1) est accompagnée en général d'une déformation, la transformation correspondante de la sphère en elle-même est tout simplement une rotation de cette sphère autour d'un de ses diamètres.

50. On sait que la succession de deux rotations autour de deux axes ayant un point commun équivaut à une rotation unique autour d'un axe passant par ce point. Donc les rotations d'une sphère sur elle-même forment un groupe. Un quelconque des sous-groupes du groupe précédent peut être considéré comme

(') Une telle rotation s'effectue de droite à gauche pour un observateur placé les pieds en Qt et la tête en P,.