LES GROUPES POLYÉDRIQUES ET LE GROUPE MODULAIRE
Éléments de la théorie des groupes d'opérations.
i . En Mathématiques, on désigne habituellement sous le nom d'opération un acte de l'entendement par lequel on passe d'un ou plusieurs éléments d'une certaine classe à un autre élément de la même classe. Telle est, par exemple, l'addition qui permet, étant donnés plusieurs nombres, d'en déduire un nouveau nombre suivant un mode déterminé.
Nous nous bornerons aux opérations où l'on passe d'un élément unique d'une certaine classe à un autre clément unique de la même classe. Telle serait, par exemple, pour les points d'un plan, une rotation d'angle donné autour d'un point fixe du même plan : cette rotation transforme chaque point du plan en un autre point bien déterminé.
De même qu'en Mécanique on considère le repos comme un cas particulier du mouvement (mouvement nul), de même nous regarderons encore comme une opération l'acte qui consiste à remplacer chaque élément par cet élément lui-même. Une telle opération est dite opération identique ou identité ; on la représente souvent par le chiffre 1 .
On appelle opération inverse d'une opération P une seconde opération supprimant l'effet de la première, en sorte que, si l'opé- V. i
ration P transforme l'élément A en l'élément B, l'opération inverse transforme B en A.
On représente habituellement par P~' l'opération inverse de P.
2. On appelle produit de deux opérations P, Q et l'on désigne par la notation PQ (') l'opération donnant lieu aux mêmes effets que les deux opérations P et Q effectuées successivement. On définit de la même manière le produit d'un nombre quelconque d'opérations.
Il est facile de s'assurer sur des exemples {voir n° 20) que le produit de plusieurs opérations ne possède pas, en général, la propriété commutative, mais possède au contraire la propriété associative.
Deux opérations P et Q, telles qu'on ait
PQ = QP,
sont dites permutables.
On a évidemment
par suite, l'opération identique est permutable avec n'importe quelle opération.
La dernière relation écrite justifie bien la notation choisie pour l'opération identique.
Si P et Q sont deux opérations, l'opération Q-1 PQ = P' est dite la transformée de P par Q.
La condition nécessaire et suffisante pour que P' = P est que P et Q soient permutables.
En effet, si
PQ = QP, il en résulte
Q-» PQ = Q-» QP = P et inversement, si
Q-iPQ = P.
On en déduit aussitôt
PQ = QP.
(') Certains auteurs écrivent QP au lieu de PQ. Voici comment une telle notation peut se justifier; soit a un élément : si Pa désigne le résultat de sa transformation par P, QPa désignera le résultat de la transformation de Pa par Q, c'està-dire l'élément obtenu en appliquant à a successivement les opérations P et Q.
Avec notre notation, on a au contraire
PQa = Q(P<ï).
Soient P et Q deux opérations quelconques : si, P transformant l'élément a en l'élément a\ Q transforme a et a' en at et «',, l'opération Q~'PQ change a{ en a\.
En effet, par hypothèse,
a'=Pa, rtt = Qa, a\ = Qa' ; d'où il suit
a\ = Q(Pa) = PQa = PQCQ-1^) = Q-»PQa,.
3. L'opération donnant lieu aux mêmes effets que l'opération P répétée n fois se désigne ordinairement par P".
Adoptant, à propos des exposants, les mêmes conventions qu'en Arithmétique, nous représenterons par P° l'opération P non effectuée, c'est-à-dire, quelque soit P, l'identité; et nous représenterons par P-! l'opération qui multipliée par P donne l'identité, c'est-à-dire (n" 1) l'opération inverse de P.
Plus généralement, P~n sera l'opération inverse de P".
4. On appelle groupe un ensemble d'opérations telles que le produit de deux opérations quelconques de l'ensemble appartienne encore au même ensemble. Par exemple, toutes les rotations autour d'un axe donné forment un groupe.
On dit qu'un groupe est fini ou infini, suivant qu'il se compose d'un nombre fini ou infini d'opérations.
\J ordre d'un groupe fini est le nombre d'opérations qu'il comprend.
Un groupe contenu dans un autre groupe est dit sous-groupe de ce dernier.
Les opérations permutables avec une même opération forment un groupe.
Soient P, P' deux opérations permutables avec une même opération Q; on aura
PQ = QP, P'Q = QP';
d'où, à cause de la propriété associative du produit,
(PP')Q = P(P'Q) = P(QP') = (PQ)P'=(QP)P'=Q(PP').
Ainsi PP' est bien une opération permutable avec Q.
5. Les opérations communes à deux groupes constituent un groupe.
Car, si P et P' appartiennent à deux groupes, il en est de même de l'opération PP'.
Si, à une opération P donnée, il correspond un entier t == ay tel que la relation
soit satisfaite, il en existe évidemment une infinité d'autres : tels seraient, par exemple, tous les multiples de a. Le plus petit des entiers t satisfaisant à la relation (i) est dit V ordre de l'opération P. Ainsi une rotation d'amplitude — autour d'un axe est une
opération d'ordre n (').
Soient P une opération d ) ordre n, Q une opération quelconque ; la transformée de P par Q est aussi d'ordre n.
En effet,
(Q-iPQ)"= Q-»PQQ-»PQ...Q-'PQ = Q-»P"Q = Q-»Q = i.
Soit P une opération d'ordre n; tout nombre t satisfaisant à P' =i est un multiple de n.
En effet, si / n'était pas multiple de n, la division de t par n donnerait
t = qn -h r avec n > r > o,
par suite
i =pi= P*»-*-»-— P'/"P'- = -(P")7P'-= P'-,
ce qui est impossible, puisque r << n.
Si P est une opération d'ordre n, son inverse est P"-1 ; elle est aussi d'ordre n.
En effet, de
PP«-i=[
on déduit
(') II existe évidemment des opérations qui ne sont pas d'ordre fini. Par exemple, la multiplication par un nombre entier m difi'érent de -f- i ou de — ir quel que soit le nombre de fois qu'on la répète, ne donne jamais l'identité.
De plus, n — i et n étant premiers entre eux, le plus petit nombre m pour lequel Y>{n~{)m est une puissance de P" est m = n. On trouverait d une façon analogue
Doue, soit P une opération d'ordre n ; considérons une de ses puissances; on peut, sans altérer la signification de ce dernier symbole, augmenter ou diminuer l'exposant de la puissance d'un multiple entier quelconque de n.
6. Les puissances (d'exposant positif, nul ou négatif) d'une même opération forment un groupe.
En effet,
prps= pr+g.
De plus, l'ensemble des puissances positives forme un groupe, et il en est de même pour les puissances négatives.
Les puissances d' une opération d'ordre fini forment un groupe fini, dont l'ordre est égal à celui de l'opération donnée.
Soit P une opération d'ordre n ; les puissances
sont les seules qui soient distinctes.
En effet, si m est un nombre n'appartenant pas à la suite i ,2,3, ..., n — i, n, on peut, en lui ajoutant ou lui retranchant un multiple convenable de n, obtenir un des n premiers nombres entiers, soit /• par exemple; alors (n° 5)
D'autre part, r et s(r^>s) étant deux nombres de la suite I, a, . . . , n, si l'on avait Pr= Ps, il en résulterait Pr~s= i, ce qui est impossible puisque /• — s n'est égal ni à zéro, ni à un multiple de n.
Le groupe formé de l'identité et des n — i premières puissances d'une opération d'ordre n est appelé un groupe cyclique.
Tout groupe, formé des puissances d'une même opération d'ordre fini, est un groupe cyclique : car, en désignant par Pr la plus petite puissance de P figurant dans le groupe, celui-ci comprendra
exclusivement toutes les puissances de Pr, comme il est facile de
s en assurer.
7. Si deux puissances d'une opération sont égales entre elles, l'opération est d'ordre fini.
En effet, si Pr = Vs, soit r > 5, il en résulte
pr-5=I.
Les opérations d'un groupe fini sont toutes d'ordre fini.
En effet, soit P une opération du groupe G; toutes les puissances de P appartiennent au même groupe. Mais puisque G ne comprend qu'un nombre fini n d'opérations, parmi les opérations de
la suite
P P2 P3, ... Pn+i,
deux au moins seront égales. Donc P est une opération d'ordre fini.
