Tout groupe fini possède les deux propriétés suivantes
a. Il contient i 'opération identique;
b. Il contient l'inverse de chacune de ses opérations.
Si P fait partie d'un groupe fini G, elle est d'un ordre fini tu (n° 7),
par suite
Vm = i.
Mais P'" appartient à G, d'où la propriété a.
De plus, Vm~* fait partie également de G, et, comme (n° o) P8»-1 est l'inverse de P, la propriété b en résulte.
11 n'est pas inutile de faire remarquer que les propriétés a et b n'appartiennent pas toujours aux groupes infinis.
Par exemple (n° 6), le groupe formé des puissances successives d'une opération d'ordre infini ne possède aucune de ces deux propriétés.
9. L'ordre d'un sous-groupe d'un groupe fini est un diviseur de l'ordre du groupe.
Soient G un groupe fini d'ordre /?, H un de ses sous-groupes d'ordre /•, formé des opérations
(0 Po=i, P„ P„ ..., P,-,.
Si Qi est une opération de G n'appartenant pas à la suite (i), les opérations
(2) PoQl=Ql, PlQl, PlQt, ...,Pr-.Qr,
qui toutes appartiennent à G, sont distinctes entre elles et différentes des opérations (i).
Car, si l'on avait
P/Qi=P/,Qi, il en résulterait
P/=PA, et, si l'on avait
P,Qi = P/„ il en résulterait
P7*Pa»Qi,
ce qui est impossible, puisque, P,~' appartenant à H(n° 8), il en serait de même de P4- ' P^ et par suite de Q, .
S'il existe dans G d'autres opérations que (i) et (2), et si Q2 est l'une d'enlre elles, on pourra considérer r nouvelles opérations
PoQ2=Q2, P1Q2, P2Q2, -.., Pr-lQ2,
distinctes l'une de l'autre et différentes des opérations (1) et (2). Et ainsi de suite. Mais, puisque G est un groupe fini, on obtiendra finalement toutes les opérations rangées dans le Tableau suivant,
ou 5= - (■) :
Pi
• • Pr-i
\ PoQ,
... Pr-lQ2
( PoQ,-
... Pr-|Q,-,
(*) D'où il suit qu'un groupe dont l'ordre est un nombre premier n'admet aucun sous-groupe sauf lui-même et l'unité.
(2) Il est évident qu'au Tableau (T) on peut substituer le suivant :
Pr-u
Q,Po = Q„
j QjP.-Q,.
QaP.i
Q.Pr-n
l Q,-,P. = Q.„ Q.-.P,, Q.-.P-., ■•-. Q,-:Pr-u
où les Q, peuvent différer de ceux du Tableau (T). La distribution des opérations de G, correspondant aux différentes lignes, n'est pas, en général, la même dans les deux Tableaux.
« PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
La relalion s = — montre que n est toujours un multiple de /•.
Si l'on prend dans chacune des lignes du Tableau (T) une opération quelconque, l'ensemble des opérations ainsi obtenues constitue ce qu'on appelle un système d'opérations représentantes du groupe G relativement au sous-groupe H.
Le nombre s de lignes du Tableau (T) est X indice du sousgroupe H dans le groupe G. C'est le rapport des ordres des deux groupes, quand ils sont finis. Un groupe infini peut avoir aussi des sous-groupes d'indice fini (').
10. Soient G un groupe fini d'ordre n, P une de ses substitutions, m l'ordre de P. Le groupe cyclique d'ordre m (n° 6) engendré par P est un sous-groupe de G; par suite, (n"9), m est un diviseur de n. Donc l'ordre d'une substitution appartenant à un groupe fini est un diviseur de V ordre du groupe.
11. Etant donnés deux sous-groupes G, et G2 d'un même groupe fini G, respectivement d'indices sK et s3, soient G3 le groupe des opérations communes (n° 4) à G, et G2, s3 l'indice de G3 par rapport à G.
Nous allons démontrer que
r,Si— n (i si, 2, 3),
n étant l'ordre de G.
Soient
Ii Pi, P«, ..-., Pr.-i
les opérations de G, et, parmi elles,
«, Pu P», .... P,,-,
celles qui constituent G3.
Formons ^>our le sous-groupe G, le Tableau (T) :
i P, P, ... Pr,,
Q. PiQi P2Q, ... P,,-,Qi
(') Voir, p;ir exemple, le n° 93 et les suivants.
ELEMENTS DE LA THEOKIE DES GROUPES D OPERATIONS. g
Soient (v), , U2, . . . , Q/, les Q< contenus dans G2 ; on a évi-dem-
eut /, ^s,.
Le Tableau
Pi
Qi
PiQ.
Q/,-1 PlQ.,-1 P«Q/,-l ... Prs-.Q,,-!
contiendra toutes les opérations de G^., en sorte que
'•3^1= '>• Il en résulte
12. Si l'on transforme toutes les opérations d'un groupe par une même opération, on obtient un nouveau groupe, dit groupe transformé du premier par cette opération.
En effet, si P'( et P^, sont les transformés de P( et Pa par l'opération Q, P't P.', est la transformée de P, P2 par la même opération. En effet, des relations
Q-'P,Q = P1. Q-'P2Q = P2 on déduit
Q-,P|P»Q = Q-|PiQQ-1P«Q = P'tP'2-
Il peut arriver que le transformé de G par une opération Q soit identique à G. On dit alors que G est permutable avec l'opération Q.
Si le groupe donné est cyclique, il en est de même de son transformé.
En efl'et, soient Pr la forme générale des opérations du groupe et Q'PQ = P'; on aura
Q-i P^Q = Q-i PQQ-i PQ . . . Q-i PQ = P'r..
Supposons que le groupe considéré soit le sous-groupe H d'un certain groupe G et que Q soit une opération de G; alors le transformé de H par Q, qu'on peut représenter par la relation Q'HQ, est un sous-groupe de G.
Les sous-groupes H et Q-1 HQ sont dits équivalents. En particulier, si R est une opération du groupe G, les opérations R et Q-1 RQ sont dites équivalentes.
Quand le groupe considéré comprend l'identité et l'inverse de chacune de ses opérations, l'équivalence possède les trois propriétés fondamentales de l'égalité.
En effet :
i° Chaque sous-groupe est équivalent à lui-même.
Car
r'Hi= H.
2° Si H est équivalent à H', H' est équivalent à H.
Car si l'on a
Q-iHQ = H',
il en résulte
H = QH'Q-> = (Q-i)->H'(Q-i),
relation qui exprime l'équivalence de H' et de H, puisque Q-1 est une opération du groupe.
3° Si H est équivalent à H' et que H' soit équivalent à H", W est équivalent à H".
En effet, de
Q-iHQ = H', Q'-'H'Q'=H" on déduit
Q'-'Q-iHQQ'=H', ou bien
