GROUPES FINIS DE ROTATIONS D'UNE SPHÈRE

l'image d'un groupe de substitutions linéaires elliptiques (') auquel il est holoédriquement isomorphe ou, ce qui revient au même, auquel il est identique au point de vue formel.

Montrons maintenant comment on peut conslruire les groupes finis de rotations correspondant aux groupes de substitutions linéaires du Tableau (n° 37); nous aurons ainsi démontré l'existence effective de tous les groupes dont nous avions seulement établi la possibilité d'existence.

Un premier type de groupes finis de rotations est celui des groupes cycliques (n° 6), formés chacun d'une rotation, dont l'amplitude est dans un rapport commensurable avec 2tz et par les puissances de cette rotation. Si ce rapport, réduit à sa plus simple expression, est - , le groupe est d'ordre n ; nous le représenterons par C„.

Chacun des deux pôles communs à toutes les rotations du groupe n'est équivalent qu'à lui-même, puisque le groupe ne contient aucune rotation, échangeant entre eux les deux pôles. On a donc (avec les notations du n° 37)

et, par suite,

Les groupes cycliques correspondent par conséquent au type I du Tableau.

51. Pour construire les autres groupes finis, nous nous reporterons aux polyèdres réguliers que nous imaginerons inscrits dans la sphère. Mais, outre les cinq solides réguliers que nous appellerons polyèdres proprement {dits, nous devrons en considérer un sixième, pour ainsi dire dégénéré, formé de deux faces polygonales régulières confondues et que nous appellerons dièdre. Il sera considéré comme inscrit dans la sphère, si le polygone régulier correspondant est inscrit dans un grand cercle de la sphère : alors

(*) Les pôles de ces substitutions ne peuvent avoir la même disposition que «huis le plan. En effet, si P et Q sont les pôles d'une quelconque d'entre elles, il doit exister un point V tel que les plans PVQ soient perpendiculaires au plan z et que les angles PVQ soient nuls.

le diamètre perpendiculaire au plan de ce grand cercle s'appellera Yaxe du dièdre.

Si le polygone a m côtés, le dièdre sera dit m-gonal. Pour m =■ 2, on a un degré encore plus avancé de dégénérescence; le dièdre se réduit simplement à un segment de droite que nous regarderons comme inscrit dans la sphère, puisqu'il coïncide avec l'un des diamètres. Dans ce cas, tout diamètre perpendiculaire au précédent devrait être regardé comme axe du dièdre. Cependant nous ne réserverons cette dénomination qu'à un seul diamètre, car nous supposerons que le polygone constituant le dièdre ait été réduit par continuité à un couple de segments confondus, et cela tout en restant dans un plan déterminé, et c'est ce plan qu'on regardera à la limite comme le plan du polygone dégénéré. 11 existe une rotation et une seule faisant coïncider AB avec CD, et il en est de même pour AB et DC (').

Or, toute rotation de la sphère qui amène deux arêtes en coïncidence laisse le polyèdre invariable, et réciproquement toute rotation qui laisse le polyèdre inaltéré réalise la coïncidence de chaque arête avec une autre arête. On aura, par suile, l'ensemble des rotations qui transforment un polyèdre en lui-même en choisissant une arête déterminée et prenant dans les deux sens possibles toutes les rotations qui amènent cette arête en coïncidence avec elle-même et les autres arêles.

Si donc A désigne le nombre des arêtes, il existe a A rotations, y compris la rotation nulle, qui transforment le polyèdre en luimême. Ces rotations forment évidemment un groupe, car, si deux rotations possèdent la propriété indiquée, il en est de même encore de leur produit. Donc :

Les rotations qui transforment en lui-même un polyèdre régulier constituent un groupe fini, dont l'ordre est égalait double du nombre des arêtes du polyèdre.

Il en résulte qu'aux six polyèdres réguliers (y compris le dièdre) correspondent six groupes finis de rotations de la sphère sur ellemême.

(') Voir, par exemple, Marcolongo, Mécanique rationnelle, t. I, p. 5g et sui Milan, Hœpli, 1905.

GROL'PKS FINIS DE ROTATIONS l)'lNK SPHKRK. >~

Cependant ces groupes ne sont pas tous distincts.

Soient, en effet, un polyèdre régulier proprement dit inscrit dans une sphère et le polyèdre conjugué, c'est-à-dire le polyèdre ayant pour sommets les centres sphériques des faces du premier. Il est clair que, si le polyèdre primitif reste inaltéré par une certaine rotation, il en esl de même du polyèdre conjugué, et que par suite les deux polyèdres admettent le même groupe de rotations. D'autre part, le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre ayant respectivement pour conjugués le tétraèdre, l'hexaèdre et le dodécaèdre réguliers, les polvcdrcs réguliers donneront lieu aux groupes suivants de rotations, dont l'ordre se déduit immédiatement du nombre des arêtes du polyèdre générateur :

a. Le groupe diédrique d'ordre n = rA/n, m étant le nombre des eôtés du polygone formant le dièdre;

b. Le groupe tétiaédrique d'ordre n = 12;

C. Le groupe octaédrique ou hexaédrique d'ordre // = 24; d . Le groupe icosaédrique ou dodécaédrique d'ordre n = 60.

Nous nous proposons d'étudier séparément chacun de ces

groupes.

y,\"l. Liant donné un polyèdre régulier, projetons-le sur la surface sphérique circonscrite, en prenant comme point de vue le rentre de la sphère. Nous obtenons ainsi un réseau de polygones sphériques réguliers recouvrant toute la sphère. Pour la commodité du langage, nous désignerons encore cette figure sous le nom de polyèdre ('); alors les faces, les arêtes et les sommets de ce polyèdre désigneront, pour les polygones sphériques ainsi tracés, leurs arêtes et leurs sommets.

Cherchons maintenant les rotations laissant ce polyèdre inaltéré.

Si le pùle d'une telle rotation ne se trouve pas sur une arête, il est situé nécessairement au centre d'une face; car autrement une rotation ayant ce point comme pôle ne pourrait changer cette face ni eu elle-même, ni en une autre face.

( ' ) Dans les cas pouvant donner lieu à équivoque, nous dirons polyèdre sphérique au lieu de polyèdre.

Si le pôle, sans être un sommet, est situé sur une arête, il est clair qu'il doit se trouver au milieu de cette arête.

Ces considérations montrent que les seules rotations changeant le polyèdre en lui-même sont les suivantes :

i" Rotations ayant pour pôles les milieux des arêtes; leur amplitude est tc;

2" Rotations ayant pour pôles les centres des faces; leur ampli-

tude est ~j et ses multiples, / désignant le nombre des côtés appartenant à chaque face ;

3° Rotations ayant pour pôles les sommets ; leur amplitude est — -

et ses multiples, q désignant le nombre des arêtes aboutissant à chaque sommet.

Dans chaque catégorie, les pôles sont équivalents entre eux, car il existe toujours des rotations qui échangent deux arêtes, deux faces ou deux sommets quelconques.

Si l'on désigne par A, F, S le nombre des arêtes, des faces et des sommets du polyèdre, le nombre des pôles est respectivement dans les trois cas précédents A, F, S. D'autre part, si chacun des pôles des trois catégories est commun à v,, v2, v3 rotations, le

nombre des pôles eux-mêmes est respectivement (n° 36) — > — > — ;

r r Vj V., Vj

d'où

v, v, va

et (n° 51), tenant compte de

et de la relation (2) du n° 37, il vient

qui est la formule d'Euler bien connue.

Les nombres v«, v2, v3 se déterminent facilement. Tout d'abord, la comparaison des relations

— = A , n = 9. A donne vt =2, comme on peut le voir aussi directement, car le

GROUPES FINIS DE ROTATIONS D'UNE SPHÈRE. 5çf

milieu d'une arête est un pôle pour deux rotations seulement : la rotation nulle et la rotation d'amplitude tc.

Pour le dièdre F = 2, A = m, et, comme n = 2 m, on trouve

Considérons maintenant simultanément le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre, qui possèdent la propriété commune d'avoir leurs faces triangulaires.

Le centre d'une quelconque de ces faces est un pôle pour trois

rotations : la rotation nulle et deux autres, d'amplitudes — % 2-.; d"où va = 3.

Un sommet est un pôle pour la rotation nulle et q — 1 autres

..• j' i-ii itz \t. i(q — i)ir . • • 1

rotations d amplitudes — , — , • ••> -^ — ,q ayant ici la même

signification que plus haut, en sorte que v3 = q. Or, dans les trois cas, 7 = 3, 4i 5 ; par suite, v3 = 3, 45 5.

La formule

devient alors

et par suite, dans les trois cas, n = 12, 24, 60, comme on pourrait d'ailleurs le déduire de la relation n = 2 S,

Les formules précédentes donnent pour les trois polyèdres à faces triangulaires les relations suivantes entre F, A et S :

Comparant les résultats obtenus avec ceux du Tableau (n° 37), on voit que les groupes diédriques, tétraédriques, octaédriques et icosaédriques correspondent respectivement aux cas II, III, \\ et V de ce Tableau.

Donc les groupes que nous avons démontré être les seuls possibles existent bien réellement.

53. Nous pouvons maintenant déterminer la structure des quatre groupes polyédriques, que nous représenterons toujours par les

6o PREMIÈRE PARTIE. — GROUPKS POLYÉDRIQUES ET MODULAIRES.

symboles IJ, III, IV, V du Tableau connu, tandis que le symbole I désignera les groupes cycliques.

H. Les éléments du groupe diédrique sont :

La rotation identique;

Les m — i rotations autour de l'axe du dièdre, d'amplitudes

arc 4"^ i(m — \)tt m

Les m rotations d'amplitude 71 autour des m axes de symétrie du polygone, formant le dièdre.

Dans le cas de m = 2, le groupe ( Vierergruppe) que nous appellerons groupe rectangulaire comprend la rotation [identique et trois rotations d'amplitude tz autour de trois axes rectangulaires (').