GROUPES FINIS DE ROTATIO.NS D'UNE SPHÈRE
;s 8 faces; comme ces points sont deux à deux diamétralement mosés, il y a 8 rotations;
Les rotations d'amplitudes ^> tc, — ayant pour pôles les 6 som-
Hs : et comme ces sommets sont diamétralement opposés, il y a rotations.
\ . Les éléments du groupe icosaédrique sont :
La rotation identique ;
Les rotations d'amplitude tc ayant pour pôles les milieux des in arêtes; pour des raisons vues précédemment, il y a i5 rotations :
Les 20 rotations d'amplitude — > -y ayant pour pôles les centres des :->o faces;
Les ?J\ rotations d'amplitude — » ^ , 4-^' -?■ ayant pour pôles le- i 2 sommets.
54. Occupons-nous maintenant de deux questions importantes concernant ces groupes, et recherchons :
a. S'ils sont simples ou composés (n° 15);
b. S'ils sont amplifiables (n° i5).
1. Un groupe cyclique, dont l'ordre est un nombre premier, est simple (cf. note, page 7)).
Soit, au contraire, un groupe cyclique
dont l'ordre n ne soit pas un nombre premier. Posons n = rs] le
sous-groupe
1, P'\ P*'\ ..., Plt-l)r
esl invariant, puisque toutes les opérations du groupe donné sont permutables. Donc, si l'ordre d'un groupe cyclique n'est pas premier, le groupe est composé.
IL Le groupe diédrique d'ordre n = 1 ni admet comme sousgroupe invariant le groupe cyclique des m rotations (y compris l;i rotation nulle) autour de l'axe du dièdre.
En effet, toute autre rotation du groupe échange entre eux les
62 PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
pôles de ce sous-groupe et par suite transformé le sous-groupe en lui-même.
III. Le groupe tétraédrique admet comme sous-groupe invariant le groupe trirectangle formé de la rotation nulle et des rotations d'amplitude autour des trois méridiens, deux à deux rectangulaires.
En effet, toute autre rotation du groupe échange entre elles les trois médianes et, par suite, également les trois rotations d'amplitude n.
IV. Le groupe octaédrique, nous l'avons vu, laisse inaltéré an ■certain cube dont les sommets non consécutifs appartiennent à un tétraèdre régulier et les quatre autres au tétraèdre conjugué.
Toute rotation du groupe ne peut évidemment produire que l'un •des deux effets suivants : ou bien laisser inaltéré chacun des deux tétraèdres, ou bien les échanger entre eux.
On peut établir que, sur les 'il\ rotations du groupe, 12 d'entre «lies donnent lieu au premier effet et les 12 autres au second.
Soient P,, P2, . .., P/ les rotations d'une de ces deux catégories «t Q une rotation échangeant les deux tétraèdres. Les opérations P, Q, P2Q, . . • , P/Q seront toutes distinctes et appartiendront à l'autre catégorie. Donc, le nombre d'éléments appartenant à l'une quelconque des deux catégories ne peut être inférieur au nombre des éléments de l'autre; en d'autres termes, les deux catégories renferment le même nombre d'éléments.
Les 12 rotations qui laissent inaltéré chacun des deux tétraèdres constituent un sous-groupe tétraédrique I\ Je dis que ce sousgroupe est invariant. En effet, soient P une rotation de Y et Q une rotation quelconque du groupe octaédrique n'appartenant pas àT; la rotation Q,PQ laisse évidemment invariables les deux tétraèdres; donc elle appartient à Y et l'on peut écrire
On peut aussi observer que le groupe trirectangle est un sousgroupe invariant du groupe octaédrique. En effet, toute rotation du groupe octaédrique laisse inaltérés les deux tétraèdres ou les échange entre eux, et, comme ces tétraèdres ont les médianes communes, toute rotation du groupe trirectangle échange entre elles ces médianes, d'où la conclusion annoncée.
