GROUPES FINIS 1>E ROTATIONS D'UNE SPHÈRE

\ . Le groupe icosaédrique ne contient aucun sous-groupe invariant et par conséquent est un groupe simple.

\ oici comment on peut le démontrer.

Le groupe icosaédrique G renferme, outre l'identité, i5 rotations d'ordre 2, 20 d'ordre 3, 2,{ d'ordre 5. Les pôles des rotalions appartenant à chacune de ces trois espèces sont équivalent (n° 52), de sorte que les rotations d'une quelconque des tmis espèces, ou bien sont les puissances d'une certaine rotation de la même espèce, ou bien s'obtiennent en transformant de telles puissances par des opérations convenables du groupe. Admettons qu'il existe un sous-groupe invariant T. Si T contient une rotation d'une certaineespèce, il contiendra toutes les rotations de la même espèce. Donc l'ordre de T sera représenté par un nombre de la forme

m = 1-+- 1 5 a -1- ao j3 -t- 24 Y>

a, [j, y ne pouvant prendre que les valeurs o, 1 ; de plus, m doit être un diviseur de 60.

Nous laissons de côté les solutions

qui correspondent respectivement à

Si y = 1 , alors m > 20 et par suite nécessairement m == 3o, d'où ta relation '

à laquelle il est impossible de satisfaire. Soit donc y = o, d'où

On voit que m ne peut être multiple de 5, et comme le plus grand diviseur de 60, qui ne soit pas multiple de 5, est 12, on aurait m < 12, ce qui est impossible si a et [3 ne sont pas nuls en même temps.

Donc le groupe icosaédrique ne contient aucun sous-groupe invariant.

f>4 PREMIÈRE PARTIE. — CROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

oo. Abordons maintenant la question de l'amplification des groupes considérés.

Prenons un polyèdre sphérique quelconque et considérons l'une quelconque de ses arêtes ; le polyèdre est évidemment symétrique par rapport au grand cercle y, contenant cette arête. Soient R la réflexion par rapport au cercler, et P une rotation quelconque du groupe G correspondant au polyèdre. Si (nos 41, 47) les pôles de P sont situés au milieu des arêtes, au centre des faces ou aux sommets du polyèdre, il en sera de même pour les pôles de P' = RPR; les rotations P, P' auront la même amplitude et seront de sens contraires (G et G étant conjugués).

11 résulte de là que P' appartient au groupe G et que G est permutable avec la réflexion R.

Outre les cercles contenant les arêtes, le polyèdre peut avoir d'autres cercles de symétrie; par exemple, les cercles contenant les bissectrices des différentes faces ('), au sujet desquels on peut répéter tout ce qui vient d'être dit.

Donc :

Un groupe polyédrique est permutable avec toutes les réflexions, admettant pour cercles de symétrie les cercles du polyèdre correspondant.

D'où (n° 45) la conséquence suivante :

Un groupe polyédrique peut être amplifié par une réjlexion relative à un quelconque des cercles de symétrie du polyèdre correspondant .

Nous verrons un peu plus loin que, quelle que soit la réflexion choisie, le groupe amplifié ainsi obtenu est toujours le même.

06. Étant donné un polyèdre sphérique, imaginons qu'on ait tracé tous ses cercles de symétrie. Ceux-ci contenant les médianes des différentes faces divisent chacune des faces en if triangles, alternativement égaux et symétriques (2), /étant le nombre des

(') Ces cercles sont dislincls des précédents dans le dièdre et dans l'octaèdre; ils se confondent avec les précédents dans le tétraèdre et l'icosaèdrc.

(2) Dans les cas du dièdre et du tétraèdre les triangles, étant isoscèles, sont en même lenips égaux et symétriques.