GROUPES FINIS DE ROTATIONS D CXB SPHÈRE
côtés de chaque face. On partage ainsi la surface sphérique en un réseau de triangles; quatre d'entre eux s'appuient sur chaque
arête, et. comme il y a (n°oJ ) - arêtes, ces triangles sont au nombre de > ii. Donc :
Les cercles de symétrie d' un polyèdre divisent la sphère en ■mi triangles alternativement égaux et symétriques, n désignant l'ordre du groupe polyédrique correspondant.
En effet, les trois sommets de chacun d'eux coïncident respecta ement avec le milieu d'une arête, le centre d'une face et un des
l-ig. 3.
sommets du polyèdre. Or, au premier de ces sommets correspond évidemment un angle droit; et comme on a toujours v, = 2, l'amplitude de l'angle est — •
\u second sommet, l'angle est — j. ou -.; or, pour le dièdre f= m = va et pour les autres polyèdres/'= 3 = vs ; l'amplitude de l'angle est donc - •
Enfin, au troisième sommet l'angle est — ■ ou — > q désignant
(n" 52) le nombre des arêtes aboutissant à chaque sommet. Or, pour le dièdre q = 2 = v3, pour les autres polyèdres q = v;t, donc
l'amplitude de l'angle est ^- (').
(') La formule connue de l'aire d'un triangle sphérique nous donne une vérili-
57. Toute rotation de la sphère qui laisse le polyèdre inaltéré fait coïncider un des in triangles du réseau avec un autre triangle égal. Mais, à l'exception de la rotation nulle, aucune rotation n'amène un triangle à coïncider avec lui-même ; donc, étant donnés deux triangles égaux, il existe au plus une rotation du groupe qui amène l'un d'eux en coïncidence avec l'autre. Cette rotation existe effectivement, car, si pour un certain couple de triangles elle n'existait pas, le nombre des rotations du groupe serait inférieur à celui des triangles égaux, tandis qu'en réalité ces deux nombres sont les mêmes.
Donc :
rotation du groupe et une seule qui amène l'un d'eux en coïncidence avec l'autre.
Pour plus de clarté, imaginons qu'on couvre de hachures les n triangles égaux de l'un des systèmes et qu'on laisse en blanc les n triangles de l'autre système.
Prenons arbitrairement l'un des triangles blancs comme premier triangle [et faisons-lui correspondre la rotation nulle. Faisons correspondre à chaque triangle blanc la rotation qui amène ensuite le premier triangle blanc en coïncidence avec lui; nous aurons par là même établi une correspondance biunivoque entre les n triangles blancs et les n rotations du groupe.
Maintenant, quel est le rôle des triangles ombrés dans ce mode de représentation?
Une réflexion par rapport à l'un quelconque des cercles du réseau fait coïncider la figure avec elle-même, mais transforme chaque triangle blanc en un triangle ombré, et réciproquement.
cation du résultat obtenu. L'aire d'un triangle du réseau et son excès sphérique ont respectivement pour valeurs
4lt 2 *
2/i n et
v3 \ ^ Vf
Lin égalant ces deux expressions, on obtient la formule ( 2 ) ( n° 37).
CONSTRUCTION DES GROUPES FINiS DE SUBSTITUTIONS. . 67
Le même fait se produit pour une rotation, suivie d'une réflexion, et il est facile de voir que, si l'on fixe arbitrairement un triangle blanc et un triangle ombré, il existe une rotation et une seule dont le produit par une réflexion déterminée amène le premier triangle eu coïncidence avec le second. Si donc on choisit arbitrairement un triangle blanc et qu'on le considère comme correspondant à l'opération identique, on peut établir une correspondance biunivoque enire les in triangles du réseau et les in opérations du groupe amplifié : il suffit de fair.e correspondre à chacun des triangles l'opération par laquelle le triangle primitivement choisi vient coïncider avec lui.
( )n voit bien maintenant que, quelle que soit la réflexion choisie, le groupe amplifié est toujours le même.
Voici à propos du réseau précédent une observation importante : étant donné un triangle du réseau, on peut en déduire par symétrie le réseau tout entier. Pour cela, on construit d'abord les triangles symétriques du premier par rapport à ses trois cotés; on répète ensuite la même opération sur chacun des nouveaux triangles obtenus, et ainsi de suite.
08. Si simple que soit la représentation sphérique des groupes précédents, il est évidemment préférable, pour des raisons d'ordre pratique, de lui substituer une représentation plane. Ony parvient très simplement à l'aide de la projection stéréographique. En vertu dune propriété souvent rappelée, nous obtiendrons des figures composées exclusivement de droites ou de cercles, donc d'une construction facile. Nous ferons un peu plus loin une étude spéciale des figures de ce genre; pour l'instant, bornons-nous à observer i\\>L elles peuvent être déduites d'un triangle unique au moyen d'une symétrie, le mot symétrie ayant la même signification qu'au n" il .
Construction des groupes finis de substitutions et de leurs groupes amplifiés.
89. Nous avons vu (n° 49) comment, moyennant une projection stéréographique appropriée, il est possible de déduire d'une substitution linéaire elliptique une rotation de la sphère sur elle-même
PREMIERE PAHTIB.
GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
Réciproquement, étant donné un groupe fini de rotations d'une sphère sur elle-même, on en déduit, à l'aide d'une projection sléréographique sur le plan de la variable complexe, un groupe fini de substitutions. Nous avons montré (nos il) et suivants) que les groupes polyédriques sont susceptibles de nous fournir, par cette voie, tous les groupes finis possibles de substitutions linéaires.
Nous nous proposons maintenant de construire effectivement ces groupes. Et, dans ce but, nous allons résoudre le problème suivant :
Etant donnée une rotation de la sphère sur elle-même, trouver la substitution linéaire correspondante.
60. Etablissons d'abord des relations entre les coordonnées d'un point dans un plan et celles de sa projection stéréographique sur la sphère. Faisons passer le plan par le centre O de la sphère, et prenons ce point O comme origine des coordonnées dans le plan. Soient (ç,-/j,Ç) les coordonnées des points de la sphère, les axes Ç, r, étant confondus avec les axes x, jvdu plan.
Fig. 4-
Prenons comme centre de projection le point d'intersection V de la sphère avec la partie positive de l'axe des Ç. Soient M(x,y) un point du plan; M, (£,yi,Ç) son correspondant sur la sphère; 11 et T les projections orthogonales de M, respectivement sur le plan çtj et l'axe Ç; N et S celles de M, R sur l'axe ç. Les trois
CONSTRUCTION DES GROUPES FINIS DE SUBSTITUTIONS. C>r,
points O, R, M sont évidemment en ligne droite, et l'on a' x = ON, y = NM, $ = OS, q = SR, ç = RM ; de plus, en supposant la sphère de rayon un,
On voit sur la ligure que
cm os si^ tivi, tv
Ôlï ~ ON ~~ NM ' QM "" W
TM, = OR, OV = i, TV = i — OT = i — RM, ;
don
'est-à-dire
