ON NM

[- RM,

ou

d'où il suit, en tenant compte de (i),

Xï-^yï =

et enfin

es) s = , "r, > *,= , l\ , i = *\+y\~*.

Les formules (2) et (3) donnent les relations cherchées.

61. Revenons à la figure 2 (n°49); prenons C comme origine des coordonnées et supposons pour simplifier la sphère de rayon 1 .

p = pe'V-. q = p' e'Y.

L'angle PVQ «'tant droit et le point Cétant situé sur la droite IM> entre P et Q, on aura

pp'= l, ;-«.'= \x -\- t.; d'où

70 PREMIERS PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

Maintenant, des formules

où a est l'amplitude de la rotation, on tire

ou, en posant a = 2 [3, <?'P = y, et observant que - = — p2,

Or, puisque y et - d'une part, /? et — d'autre part sont des couples de quantités conjuguées, il en est de même des couples

Y-4--?2, — «-YP et P \ — Yfi

Donc, A, li, G, D désignant quatre quantités réelles, on pourra poser

La substitution (i) deviendra alors

; (D-+-*o«— <B — ia;

(Bh-iA.)5 + D- ïG et aura pour déterminant

Pour ramener cette substitution à la forme unitaire, il suffit de

diviser tous ses coefficients par p2 -+- i et de poser

- -+- vpî ) = ri

Y ) as b -H l'a,

\ P2-i-»\Y la substitution devient

, (d-\- ic)z — (b — ici)

son déterminant est égal à i et les quantités réelles a, b, c, d sont liées parla relation

(4) a*-4-62+ c*-Hrf*=i.

Prenons les mêmes axes £, r,, £ que dans le numéro précédent et définissons chaque point de la sphère à l'aide de sa longitude et de sa latitude, le plan £*; étant l'équateur et le plan ÇÇ le méridien origine; choisissons comme sens positifs pour la latitude et la longitude ceux qui correspondent à une rotation de - amenant le demi-axe positif £ respectivement en coïncidence avec les axes Ç et r,.

Il existe une relation simple entre la longueur du rayon OM = p et la latitude MOM, = À de sa projection M, ; on a (yoivfig. 4)