QQ')-,H(QQ') = H

qui exprime l'équivalence de H et de H", QQ' étant une opération de groupe.

Il peut arriver que les deux groupes H et Q,HQ soient identiques : en particulier, cela arrivera nécessairement si Q est une opération de H, H possédant les propriétés a et b énoncées au numéro 8. Si, Q étant une opération de G, les deux sous-groupes H et Q~'HQ sont identiques, on dit que H est un sous-groupe invariant de G.

13. Si H est un sous-groupe non invariant de G, on peut toujours déterminer un sous-groupe lv de G, contenant H et admettant ri comme sous-groupe invariant.

Observons tout d'abord que l'ensemble des opérations de G, possédant la propriété de transformer H en lui-même, constitue un groupe K. En effet, de

on déduit c'est-à-dire

QT'HQ^H, Q^HQ2=H

(QiQ2)-1H(Q,Q2) = H.

Le groupe K ainsi défini contient H, puisque, ainsi qu'on vient de le voir, chaque opération de K transforme H en lui-même; de plus, H est évidemment un sous-groupe invariant de K.

On peut encore remarquer que K est le plus grand sous-groupe

de G admettant H comme sous-groupe invariant.

Soient

les opérations de K; construisons le Tableau (ï) relatif à ce sousgroupe, et soit rs = n, n étant l'ordre de G :

ï Qi Q2 ... Qr-i

Ri QtRi Q2R1 ••• Qr-iRi

R,, Q.IV, QjR,., ... Qr-iRs-i

Il est facile de voir que les opérations d'une même ligne de ce Tableau transforment H en un sous-groupe équivalent. En effet, puisque

Qâ»HQa=H (h = 1, 2, ...,/• -1), il vient

(QAR/)-i H(QA R,) = R71 Qâ1 HQAR,= R71 HR, (» = 1, a, . . .,*- 1),

résultat indépendant de h. Donc :

Les différents sous-groupes équivalents à H, y compris H luimême, sont en nombre s, c'est-à-dire en nombre égala l'indice deK.

Ce nombre est par suite un diviseur de n.

Le sous-groupe formé des opérations communes à tous les sous-groupes équivalents entre eux est un sous-groupe invariant, car il n'est équivalent qu'à lui-même.