Soient

GKOUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.

deux groupes finis d'opérations, tels que toutes les opérations du premier soient permutables avec celles du second. Les opérations

Pt Q.Pi Q«P.

QiP2 Q,P,

Qi P/»-i

constituent un groupe G,„w, dont G/u et Gu sont deux sousgroupes invariants.

En effet, on a tout d'abord

Ensuite

Q/PAQ*P/=QjQ*PAP/=QrP,.

(QiPn)-1 P*(Q<Pa) = .Pâ1071 P«Q/Pa= P,ï P*Pa=P«, (Q/P/,)-1 Q/CQ/P/.) = P^1 Qr1 Q*Q/Pa= Qî1 QtQi = Qr-

Examinons comment, des sous-groupes de G,„ et de Grt, on j)Ourra déduire ceux de G„,„.

Soient

G^a(ifP„>to-..:,P^), Gv = (i,Q1,Q„ ...,Qv-,)

deux sous-groupes, l'un de G,„, l'autre de G„. Les opérations

Pi Qil'i Q2P,

Qv, Q^.P, Qv

Qv-lPa-l

constituent un sous-groupe G^ de Gm/n qu'on pourra considérer comme le résultat de la combinaison des sous-groupes G^ et Gv. Mais, réciproquement, tout sous-groupe de Gm/I ne provient pas nécessairement de la combinaison de deux sous-groupes appartenant à Gm et Gn. Soient Gp un sous-groupe de G„un et G^, Gv les plus grands sous-groupes qui lui soient communs respectivement avec Gm et Gu ; le groupe Gp contiendra évidemment Gp. Si p = uv

Is deux groupes Gp etG^sont identiques. Si au contraire p >* jjlv, p contiendra, en même temps que les opérations du Tableau (2), d'autres opérations. Soit Q,P/, une opération deGp; il contiendra aussi les opérations

Q/P*Pt, Q/P/4P2, .... Q/P/JVi-

Mais PaPi, P/<Pa5 • • .5 P/iP[i-i sont a — 1 opérations de G„t, que nous désignerons par P^,, PAl, . . . , Pa , ; en sorte que, si Gp contient Q/Pji, il contient en outre les jjl — 1 opérations

Q/Pa, (y = 1,2, .. -, (x — 1).

Il ne peut en contenir d'autres, dans lesquelles i aurait la même valeur; car soit Q/P* une telle opération, où k est distinct de tous les hj\ en posant