REPRÉSENTATION DES GROUPES FINIS SUR LE PLAN
BCB'C'et il est facile de démontrer qu'ils ont pour centres B',C',D'; il suffit d'observer que le triangle BC/D' et les analogues sont équilatéraux.
Fig. 11.
ST
74. Dans la figure 10 se trouve déjà dessiné le cube (sphérique) AB'DC'BD'C A'; les cercles de symétrie sont les mêmes que ceux de l'octaèdre, ayant pour diagonales les axes de coordonnées. Pour avoir le réseau octaédrique, on complétera la figure 10 en y introduisant les cercles de symétrie qui y manquent, c'est-à-dire les cercles contenant les médianes des différentes faces du cube. Ces cercles, qui sont les sections de la sphère par les plans de coordonnées, ont pour projections les deux axes et le cercle équatorial.
Prenons comme triangle initial 1 le triangle ayant deux de ses sommets l'un à l'origine, l'autre au point A. Les autres triangles se croisant à l'origine auront pour symboles V, V2, V3, tandis que ceux qui ont leurs sommets en A auront pour symboles S, S-. Par des
rotations - , it, — '- autour de l'origine, les triangles S, S- deviennent
respectivement SV, SV2, SV3 et S2V, S2V2, S*V».
En tournant autour de l'axe des x, on obtient U, SU, S2U, et l'on en déduit, au moyen de rotations autour de l'origine, les symboles restants UV, UV2, UV3 ; SUV, SUV2, SUV* ; S2 UV, S2 1 \ - , S2UY\
IOO PREMIERE PARTIE. — GROUPES POLYEDRIQUES ET MODULAIRES.
75. Pour avoir la représentation plane du groupe icosaédrique, il convient avant tout de déterminer les projections des sommets du polyèdre. Reportons-nous aux figures 6 et 7. Le centre de projection étant 12 se projette au point à l'infini et le sommet i à
Fig. 12.
l'origine. La projection du sommet 2 est sur la partie positive de l'axe des x à une distance de l'origine égale au segment 0"H" {fig- 7)7 tandis que la projection du sommet 7 se trouve sur la partie négative de l'axe des x à une distance de l'origine égale à 0"K" ('). Les projections des autres sommets forment respectivement avec celles des sommets 2 et 7 deux pentagones réguliers ayant l'origine pour centre. Observons que les points 4? 5, 8, 11, situés (n° 60) sur un cercle passant par le centre de projection 12, doivent avoir leurs projections en ligne droite. On peut en dire autant des points 5, 6, 9, 7 ; 6, 2, 10, 8; 2, 3, 11,9; 3, 4, 7, 10. Par suite, lespoints 7, 8, 9, 10, 1 1 sont les sommets d'un polygone
(') Si la sphère a pour rayon l'unité, on trouve OH"
OIv"
